Лагранжева механика, Уравнения связи

[ИгорЪ]

Oleg Zubelevich
$x^2=0$
$x\dot{x}=0$
и т. д. Дык их немеряно будет, они убъют все степени свободы.
Стесняюсь спросить, это ведь вторичные связи, они подходят под определение в вашей ссылке?

[Oleg Zubelevich]

ИгорЪ в сообщении #700463 писал(а):

и т. д. Дык их немеряно будет

немеряно не надо, в уравнения Лагранжа со множителями входят коэффициенты, которые умножаются на скорости, дифференцировать 50 раз не нужно.

[ИгорЪ]

myhand в сообщении #700462 писал(а):

В "подстановке".

Чем же она плоха, извольте спросить?

-- Сб мар 23, 2013 21:42:38 --

Oleg Zubelevich

Кажется я понял. Ранг должен быть =1 при всех $q$, что возможно лишь при линейной функции?

[Oleg Zubelevich]

ИгорЪ в сообщении #700465 писал(а):

Кажется я понял. Ранг должен быть =1 при всех $q$, что возможно лишь при линейной функции?

если вы записываете уравнение вида $y^2=0$ то дальше должно быть $y\dot y=0$. При $y=0$ ранг соответствующей матрицы равен нулю. Поэтому $y^2=0$ -- это не связь в окрестности $y=0$, а , скажем $\dot y=0$ это связь. Ну пример конечно совершенно тривиальный и формальный...

-- Сб мар 23, 2013 21:51:07 --

ИгорЪ в сообщении #700465 писал(а):

Кажется я понял. Ранг должен быть =1 при всех $q$,

в вашем примере --да

[ИгорЪ]

Oleg Zubelevich

Остается спросить, почему связи выбираются в линейном по $\dot{q}$ виде и откуда требование глобальной максимальности ранга. Частица на окружности, связь которой вы привели, в нуле тоже имеет немаксимальный - нулевой ранг, как быть с этим?

[Oleg Zubelevich]

ИгорЪ в сообщении #700469 писал(а):

Остается спросить, почему связи выбираются в линейном по $\dot{q}$

например, в классической динамике других просмто не бывает, не видел никто. думаю, что и вообще не бывает

ИгорЪ в сообщении #700469 писал(а):

откуда требование глобальной максимальности ранга

а иначе вы дифференциальные уравнения не запишите в нормальной форме Коши, и соответственно корректности задачи не будет

ИгорЪ в сообщении #700469 писал(а):

Частица на окружности, связь которой вы привели, в нуле тоже имеет немаксимальный - нулевой ранг,

не понял

[ИгорЪ]

Для частицы на сфере $x^2+y^2=1$ по вашему букварю надо связь редуцировать к $x\dot{x}+y\dot{y}=0$, где в нуле ранг зануляется. Видимо точка $(0,0)$ не физична, так что всё ок.

[Oleg Zubelevich]

ИгорЪ в сообщении #700485 писал(а):

Для частицы на сфере $x^2+y^2=1$ по вашему букварю надо связь редуцировать к $x\dot{x}+y\dot{y}=0$, где в нуле ранг зануляется. Видимо точка $(0,0)$ не физична, так что всё ок.

ну да. Значит в этой точке возможны особенности уравнений движения (ноль при старшей производной), ну правда мы в нее и не попадем, поскольку она на окружности не лежит . Т.е. это значит, что координаты $x,y$ неудачные для задачи с такой связью

-- Сб мар 23, 2013 22:52:47 --

я тут кое-кому клизму поставил: topic70138.html

[ИгорЪ]

Интересно, есть ли физическая интерпретация выделенности условия $n=1$.

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #700465 писал(а):

Чем же она плоха, извольте спросить?

Своей бессмысленностью.

Вас ведь попросили внятно проинтерпретировать получающийся "результат". А в ответ - "хочу показать". Хотеть не вредно, конечно. Другое дело - дальше хотения вы пока не ушли.

[ИгорЪ]

Итак, свободной частице запретили двигаться по одной оси связью вида $y^n=0$,
$L=\dot{x}^2/2+\dot{y}^2/2+\lambda y^n$
уравнения
$\ddot{x}=0$
$\ddot{y}=ny^{n-1} \lambda$
разрешаем относительно связи
$\lambda=\ddot{y}/(ny^{n-1})$
и подставляя имем
$L=\dot{x}^2/2 + \dot{y}^2/2+\ddot y y/n= =\dot{x}^2/2 +(n-2)\dot{y}^{2}/(2n)$
При $n=2$ получим ожидаемое $L=\dot{x}^2/2$, при других $n$ имеем "перенормировку массы".
Oleg Zubelevich только $n=1$ диагностирует как допустимую связь, тогда имеем тахион. "Плохая", квадратичная связь дает ожидаемый эффект. Что здесь неправильно делается, или что всё это значит?
myhand
Говорит о бессмысленности, увы не приводя аргументов.

[Oleg Zubelevich]

ИгорЪ в сообщении #700607 писал(а):

разрешаем относительно связи
$\lambda=\ddot{y}/(ny^{n-1})$
и подставляя имем
$L=\dot{x}^2/2 + \dot{y}^2/2+\ddot y y/n= =\dot{x}^2/2 +(n-2)\dot{y}^{2}/(2n)$

а почему получившийся в результате такой подстановки лагранжиан должен дать правильные уравнения движения? это не из чего не следует
а потом как в лагранжиане может быть вторая производная? , а потом вдруг первая

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #700607 писал(а):

подставляя имем
$L=\dot{x}^2/2 + \dot{y}^2/2+\ddot y y/n= =\dot{x}^2/2 +(n-2)\dot{y}^{2}/(2n)$
При $n=2$ получим ожидаемое $L=\dot{x}^2/2$, при других $n$ имеем "перенормировку массы".

"При других" - имеем просто бессмысленную формулу. Совершенно посторонний "лагранжиан" с двумя степенями свободы.

ИгорЪ в сообщении #700607 писал(а):

"Плохая", квадратичная связь дает ожидаемый эффект. Что здесь неправильно делается, или что всё это значит?

"Не так" здесь - в подстановке. Повторяю вопрос: вы можете смысл этой подстановки внятным образом изложить? Какой смысл буковок $x$, $y$ в оригинальном лагранжиане? Какой смысл буковки $y$ в формуле, где $\lambda$ выражена через нее. Ну и т.д.

ИгорЪ в сообщении #700607 писал(а):

Говорит о бессмысленности, увы не приводя аргументов.

Вы их не видите, что не удивительно. Учитывая бессмысленность производимых вами действий.

[ИгорЪ]

Oleg Zubelevich Вторая пр-ая убирается выделением полной производной.
myhand

Букварь Рубакова 1999 года стр. 129-130, формулы 7.55-7.59. Там 59 получают из 57 и 58.
Однако формула 59 может быть получена варьированием действия после подстановки в него 58 вместо $\lambda$. Этим я собственно и балуюсь тут.

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #700911 писал(а):

Однако формула 59 может быть получена варьированием действия после подстановки в него 58 вместо $\lambda$.

Покажите, что она "может". Пока это - голословное заявление.

Формулы 57 и 58 - получают, варьируя $\lambda$ и $\varphi$ независимо. Вот вы и получаете бессмысленный результат, игнорируя это нафиг, только и всего.

Oleg Zubelevich в сообщении #700488 писал(а):

я тут кое-кому клизму поставил: topic70138.html

Себе?