Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции

[merovingen]

Здравствуйте уважаемые участники форма. Имеются затруднения с определением выпуклости и вогнутости функции. Помогите пожалуйста.

Задача. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции $y={x^2}\cdot{lnx}$
Моё решение:
$\frac{d}{dy}({x^2}\cdot{lnx})={2x}\cdot{lnx}+\frac{x^2}{x}$
$\frac{d^2}{dy^2}({x^2}\cdot{lnx})=\frac{d}{dy}({2x}\cdot{lnx}+\frac{x^2}{x})=2lnx+\frac{2x}{x}+\frac{{2x}\cdot{x}-x^2}{x^2}=2lnx+3$.
Приравнивая вторую производную к нулю получаю логарифмическое уравнение:
$2lnx+3=0$; $2lnx=-3$; $lnx=\frac{-3}{2}=-1.5$; $e^{-1.5}=0.223$.
То есть $f при $x=0.223$.

Но по виду графика функции нельзя сказать, что точка $x=0.223$ является точкой перегиба. Или я ошибаюсь? И что с выпуклостями и вогнутостями при этом?

[gris]

Ну как же? Предел в нуле и функции, и производной равен нулю, то есть там явная выпуклость вверх. А при $\ln x=-1/2$, то есть в точке $x\approx 0.6$ у функции минимум и выпуклость вниз. То есть даже чисто визуально есть точка перегиба. Просто первый "купол" мы видим как бы до половины, да и прилегание функции к оси абсцисс при стремлении к нулю незаметно в мелком масштабе. Изобразите отрицательную часть функции (от нуля до единички) покрупнее и всё увидите.

Название функции лучше писать со знаком "\" в начале. Так тест читабельнее.

$y=\ln x;\ y'=\dfrac 1{x}; \ y''=-\dfrac 1{x^2}$

[merovingen]

Ой, а я то смотрю на график от второй производной. )) Спасибо за ценные замечания!