Топология в физике

[JoAx]

Вот и я первую тему открою.
Всем привет!

Вопросов несколько. Первый очень пространный:

- Какие надежды возлагаются на топологию в физике? От вселенских масштабов, до мельчайших.

В общих чертах, так сказать. Можно (нужно, скорей всего) литературой, не для профи, но ... толковую. Если такого нет, то лучше посерьёзней.
Но и от выкладок здесь никак не откажусь.

Следующий вопрос поконкретней:

- Топология вселенной?

Вот это: http://www.astronet.ru/db/search.html?kw=14953
уже читаю, но как-то не очень удовлетворительно, пока.

И последний вопрос очень даже конкретный:

- Можно ли выбрать шар в качестве фундаментальной области плоского тора?

Мне кажется нет, т.к. шарами нельзя упаковать евклидово пространство так, что бы не было пересечений и полостей одновременно.
Или это не существенно?
??


Заранее всем спасибо!

[Munin]

JoAx в сообщении #699516 писал(а):

Вопросов несколько. Первый очень пространный:

- Какие надежды возлагаются на топологию в физике? От вселенских масштабов, до мельчайших.

В общих чертах, так сказать. Можно (нужно, скорей всего) литературой, не для профи, но ... толковую. Если такого нет, то лучше посерьёзней.
Но и от выкладок здесь никак не откажусь.

Огромный вопрос. Насколько я себе это представляю:
1. Топологией в физике интересуются постольку, поскольку топология связана с геометрией (поверхности, пространства, линии в пространстве, etc). В топологии есть ряд формул, связывающих геометрические величины с топологическими, типа теоремы Гаусса (той самой, электростатической) и теоремы Гаусса-Бонне. Вот подобные формулы физиков и интересуют, и те топологические детали, которые в этих формулах упомянуты.

Большая часть топологии в этом смысле сопоставляется с геометрией нашего обычного пространства. Например, в физике твёрдого тела рассматривается дислокация кристаллической решётки - это такая линия, которая не может быть разорвана, а может только смещаться туда-сюда. Вот существует некоторая величина, которая при интегрировании по контуру, охватывающему дислокацию, даёт постоянный интеграл, как вычет в ТФКП. В гидродинамике есть аналогичные линии вихря. В теории поля обсуждается не только само пространство, но и "надстройка" над ним в виде некоторых геометрических значений, заданных в каждой точке, и вот получившаяся конструкция тоже может быть как-то "закручена" или "переплетена", неустранимым образом - это будет топологическое свойство такого состояния, т. наз. топологический заряд.

Бывает, под интерес попадает не наше обычное пространство, а какое-то более абстрактное, например, пространство состояний. В лагранжевой механике - пространство всевозможных конфигураций системы, в гамильтоновой - состояний, в теории поля - пространство внутренних переменных или группы преобразований. Например, в КТП принято накладывать условие компактности на калибровочную группу - если она компактна, то теория перенормируема, а если нет - то некоторые интегралы расходятся.

2. Есть, конечно, и приложения топологии "самой по себе", или по крайней мере, более оторванные от пространств. Думаю, это топология фейнмановских диаграмм и её приложения в теории перенормировок. Подробно ничего сказать не могу.

JoAx в сообщении #699516 писал(а):

Следующий вопрос поконкретней:

- Топология вселенной?

Вот это: http://www.astronet.ru/db/search.html?kw=14953
уже читаю, но как-то не очень удовлетворительно, пока.

Тут всё очень просто. Есть мэйнстрим. Он довольно скучный: Вселенная - это плоский бесконечный лист, по крайней мере шире, чем вся видимая область Вселенной, и ничего за её пределами (видимой области) нам никогда не будет известно, и ни на что не влияет.

И есть куча мелких сошек, мечтающих прославиться. Они периодически высплывают и выкладывают идею: "а вдруг Вселенная вот такой-то формы". Идею серьёзно рассматривают, и выдают вердикт, типа такого: unlikely. На этом история и заканчивается. Началось это в годы первых результатов WMAP-а, который, собственно, и позволил всерьёз это сравнивать с данными, и заканчивается по мере того, как идеи иссякают, данных с WMAP-а становится больше, а теперь ещё и новый аппарат запустят, Planck. Точнее, уже запустили, и даже первые результаты выдали, буквально сегодня, 21 марта 2013. Так что может быть новый всплеск гипотез. Но с меньшим временем жизни :-)

JoAx в сообщении #699516 писал(а):

И последний вопрос очень даже конкретный:

- Можно ли выбрать шар в качестве фундаментальной области плоского тора?

Мне кажется нет, т.к. шарами нельзя упаковать евклидово пространство так, что бы не было пересечений и полостей одновременно.
Или это не существенно?

А это не в "Математику" вопрос?

[casualvisitor]

JoAx в сообщении #699516 писал(а):

- Какие надежды возлагаются на топологию в физике? От вселенских масштабов, до мельчайших.

В общих чертах, так сказать. Можно (нужно, скорей всего) литературой, не для профи, но ... толковую. Если такого нет, то лучше посерьёзней.

1. Поиск в libgen по ключевым словам "physics+topology".
2. Топология - все-таки часть геометрии ("оторванной от пространств", от топологических пространств, она не может быть по определению). Поэтому многие ее "приложения к физике" имеют непрямой характер - через дифгеометрию и анализ. См., например, Б.Шутц Геометрические методы математической физики, Nakahara Geometry, Topology and Physics. Возможно, что тут Вам насоветуют много чего еще, да и сами найдете.
3. Дефекты в упорядоченных средах дают примеры более прямого применения топологии. См., например, ту же книжку Nakahara или Mermin N.D. Topological theory of defects in ordered media (libgen)

[casualvisitor]

Еще можете посмотреть обзоры Новикова по топологии (libgen "Новиков+топология"). Посвящены они, конечно, собственно топологии (и тем могут быть Вам интересны), но в них есть замечания о применениях топологии в физике.

[lucien]

Munin в сообщении #699602 писал(а):

Например, в КТП принято накладывать условие компактности на калибровочную группу - если она компактна, то теория перенормируема, а если нет - то некоторые интегралы расходятся.

Интересно бы узнать об этом по-подробнее. На лекциях нам ничего подобного не говорили. Всегда ли некомпактность группы симметрии приводит к неперенормируемости? (в книгах по перенормировкам такого критерия я не встречала). И второе, компактность группы еще ведь не гарантирует перенормируемость. Калибровочно инвариантных лагранжианов много, а перенормируемых -- единицы.

[Munin]

casualvisitor в сообщении #699622 писал(а):

2. Топология - все-таки часть геометрии ("оторванной от пространств", от топологических пространств, она не может быть по определению).

Есть такая штука, как гомологическая алгебра. Её куда отнесёте?

lucien в сообщении #699699 писал(а):

Интересно бы узнать об этом по-подробнее.

В Вайнберге "Квантовая теория поля" должно быть, кажется.

lucien в сообщении #699699 писал(а):

Всегда ли некомпактность группы симметрии приводит к неперенормируемости? (в книгах по перенормировкам такого критерия я не встречала).

Ну вот, строго говоря, электродинамика - теория, которую обычно принято описывать как $U(1)$ - может быть описана и как теория с группой $\mathbb{R}$ - поскольку в уравнения теории входит не сама группа, а алгебра над ней, а они совпадают. И тем не менее, она перенормируема.

lucien в сообщении #699699 писал(а):

И второе, компактность группы еще ведь не гарантирует перенормируемость. Калибровочно инвариантных лагранжианов много, а перенормируемых -- единицы.

Не понял, в каком смысле "много". Как раз калибровочная инвариантность накладывает одно из самых сильных ограничений на лагранжиан. И как раз таким образом перенормируемые и ищут: накладывая калибровочную инвариантность. Таким образом были найдены и лагранжиан КХД, и лагранжиан электрослабой теории (ГВС). Причём для второго ещё потребовалось дополнительно доказывать перенормируемость, но 'т Хоофт справился.

[lucien]

Munin в сообщении #699776 писал(а):

Не понял, в каком смысле "много".

В стандартной модели взаимодействие всегда минимальное. Можно записать не минимальные взаимодействия, но калибровочно инвариантные. Например $L_{int}\sim\bar{\psi}\sigma^{\mu\nu}\psi F_{\mu\nu}$. Такая теория неперенормируема.

[Munin]

Каким образом это показано?

[lucien]

Да хотя бы из размерных соотношений.

[alcoholist]

Munin в сообщении #699776 писал(а):

Есть такая штука, как гомологическая алгебра. Её куда отнесёте?

чистая алгебра

[Munin]

lucien в сообщении #699868 писал(а):

Да хотя бы из размерных соотношений.

Из таких же соотношений и минимальные взаимодействия должны считаться неперенормируемыми.

[lucien]

Munin в сообщении #699890 писал(а):

Из таких же соотношений и минимальные взаимодействия должны считаться неперенормируемыми.

Вы ошибаетесь.

[type2b]

Munin в сообщении #699890 писал(а):

Из таких же соотношений и минимальные взаимодействия должны считаться неперенормируемыми.

Ничего подобного. Заведомо неперенормируемы (если не происходит специальное чудо) взаимодействия, константа которых имеет отрицательную массовую размерность, что следует из простого размерного анализа (см. любой учебник по КТП).

Что касается некомпактных калибровочных групп, то с ними проблема в том, что форма Киллинга не знакоопределена, т.е. часть кинчлена имеет неправильный знак, евклидов функциональный интеграл расходится. Хотя в отдельных случаях такую теорию можно как-то доопределить (аналитическим продолжением), но это, кажется, особые случаи.

[Munin]

type2b в сообщении #699899 писал(а):

Ничего подобного. Заведомо неперенормируемы (если не происходит специальное чудо) взаимодействия, константа которых имеет отрицательную массовую размерность, что следует из простого размерного анализа (см. любой учебник по КТП).

Ну так обычный Янг-Миллс из этой идеи тоже должен быть неперенормируем из-за трёхглюонной вершины. Или поясните.

[type2b]

константа Янг-Миллса безразмерна.