Сходимость интеграла

[never-sleep]

Как исследовать сходимость такого интеграла? $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{\ln(x^2-2x+3)}{x^2-5x+4}dx$

Можно разложить на множители квадратные трехчлены:

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{\ln\big((x-1)(x-3)\big)}{(x-1)(x-4)}dx$

Особенность только в точке $x=1$, разобьем на сумму интегралов.

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{\ln\big((x-1)(x-3)\big)}{(x-1)(x-4)}dx=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\ln\big((x-1)(x-3)\big)}{(x-1)(x-4)}dx+\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\dfrac{\ln\big((x-1)(x-3)\big)}{(x-1)(x-4)}dx$

Если рассмотреть интеграл $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\ln\big((x-1)(x-3)\big)}{(x-1)(x-4)}dx$, то можно заметить, что подынтегральная функция отрицательна на данном промежутке, значит признаком сравнения воспользоваться не получится. Как тогда быть? Что можно еще сделать?

[ИСН]

never-sleep в сообщении #699296 писал(а):

можно заметить, что подынтегральная функция отрицательна на данном промежутке, значит признаком сравнения воспользоваться не получится.

Некто должен Вам тыщу рублей. Потом одолжил ещё тыщу. Но сложить не получится - ведь это отрицательные числа. Неизвестно, сколько он теперь должен.

[never-sleep]

Нужно рассмотреть интеграл $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}-\dfrac{\ln\big((x-1)(x-3)\big)}{(x-1)(x-4)}dx$?

А с чем его сравнивать?

[SpBTimes]

never-sleep в сообщении #699296 писал(а):

Как тогда быть? Что можно еще сделать?

Достаточно знакопостоянства функции, намекали на это

[never-sleep]

SpBTimes в сообщении #699488 писал(а):

never-sleep в сообщении #699296 писал(а):

Как тогда быть? Что можно еще сделать?

Достаточно знакопостоянства функции, намекали на это

Спасибо, это теперь понятно. Из сходимости/расходимости интеграла с положительной подынтегральной функцией $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}-\dfrac{\ln\big((x-1)(x-3)\big)}{(x-1)(x-4)}dx$ будет следовать сходимость/расходимость интеграла $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\ln\big((x-1)(x-3)\big)}{(x-1)(x-4)}dx$

Но вот как дальше -- пока не ясно.

[SpBTimes]

Хотя бы даже так, что можно найти эквивалентную функцию около единички, и она будет равна...

[never-sleep]

SpBTimes в сообщении #699497 писал(а):

Хотя бы даже так, что можно найти эквивалентную функцию около единички, и она будет равна...

$-\dfrac{\ln\big(-2(x-1)\big)}{2(x-1)}$ ???

Интеграл от нее расходится, если непосредственно вычислить, а значит и исходный расходится?

[SpBTimes]

$1 - 4 = -3$, а так - да