Интеграл с индикатором

[Ward]

Здравствуйте!

Скажите пожалуйста почему интеграл

$$\int \limits_{\mathbb{R}}xd\mathbb{I}\{x\geqslant x_k\}=x_k$$

где $\mathbb{I}\{x\geqslant x_k\}=\begin{cases} 1, & x\geqslant x_k \\ 0, & x<x_k \end{cases}$

Не могу что-то это понять.

[Sonic86]

(Оффтоп)

индикатор проще было записать $x\geqslant x_k$. А еще можно писать $I(x-x_k)$, где $I$ - ступнчатая функция Хевисайда

Короче, $d[x\geqslant x_k]=\delta (x-x_k)dx$, где $\delta$ - это дельта-функция, а дальше просто $\int\limits_\mathbb{R}f(x)\delta (x-x_k)dx=f(x_k)$ (это свойство дельта-функции).
Только подробности я не знаю.

[Ward]

А почему это неверно?
В лекциях написано

Цитата:

мы пользуемся формулой для интеграла Стилтьеса $\int \limits_{X}f(x)dg(x)=f(\xi)c$, где $g(x)$ - функция одного скачка (в точке $\xi$), $c=g(\xi+0)-g(\xi-0)$ - величина скачка

-- 21.03.2013, 12:26 --

я не знаю что такое дельта-функция.
Можно ли это объяснить как-то попроще?

[Henrylee]

А интегральную сумму Стилтьеса знаете?