Криволинейный интеграл по длине дуги

[inginegr]

Объясните пожалуйста геометрический смысл криволинейного интеграла по длине дуги. По книгам, что-то не могу понять.

[gris]

Он почти такой же, как и обыкновенного определённого интеграла.
Если вдоль кривой выстроить забор, высота которого в каждой точке определяется функцией, то интеграл определит площадь этого забора.

[Praded]

Набираете в поисковике "геометрическое значение криволинейного интеграла" и самообразовываетесь.

[inginegr]

Praded
Спасибо конечно, но я не просил учить самообразованию, а попросил другой помощи. Разумеется искал - ответ на свой вопрос не нашел.

gris
Ну я тоже так понял его смысл, но меня смутил один момент. В задачнике Г.Н. Бермана, а именно 3771-я задача, есть задание на вычисление криволинейного интеграла. Вот содержание:

Цитата:

Вычислить криволинейный интеграл.

$$\ointop_{L}^{ } xy ds$$

где $L$ - контур прямоугольника с вершинами $A(0,0), B(4,0),C(4,2) и D(0,2)$;

По сути площадь равна $S=4*2=8$, но в ответах стоит цифра 24. Это описка в книге, или я что-то не так понимаю?

[ИСН]

Смотрите:

gris в сообщении #698955 писал(а):

интеграл определит площадь этого забора

Ещё раз:

Цитата:

площадь забора

А Вы чью площадь посчитали, перемножив 2 и 4?
А надо было

Цитата:

забора

[gris]

Если мы разделим интеграл на четыре стороны, то с двух сторон забора не будет, а с двух — два треугольных забора. По $BC$ с основанием $2$ и высотой $8$ и по $CD$ с основанием $4$ и высотой $8$. Площадь $2\cdot 8 /2 + 4\cdot 8/2=24$.
Если проинтегрировать, получим то же самое.

Я представил, если так матан сдавать. Построим забор вдоль лемнискаты Бернулли. Под забором пустим поток сгущённого молока.

[inginegr]

gris
Вы мне просто мозг взорвали с этим забором . Судя по всему вы как то получили два забора какие-то примерно как на рисунке:

вопрос - от куда вы их взяли?

По мне так мы имеем кривую, уравнение которой y=2. Разве мы не можем просто вдоль этой кривой взять интеграл?

$$\intop_{0}^{4} 2x dx$$

Или когда мы интегрируем по замкнутому контуру у нас действуют какие-то другие правила, не как по обычной кривой?

[ИСН]

Можем. Но это будет другой интеграл, не имеющий к Вашему никакого отношения.
Вы о функциях от двух переменных слышали когда-нибудь? Трёхмерный график можете представить?

-- Ср, 2013-03-20, 21:19 --

И потом, что значит "по обычной кривой"? Это и есть обычный интеграл по кривой. Обычнее не бывает.

[gris]

Выкройка двух заборов верна. Только в точке $C$ они имеют одинаковую высоту — $2\cdot 4=8$. А в любой точке периметра высота забора определяется подынтегральной функцией и равна $xy$. Вдоль каждой стороны одна из переменных постоянна и функция просто линейна. И приведённый Вами интеграл равен $16$. А по другой стороне интеграл равен $8$. Обратите внимание, что интегрируем мы по длине. То есть надо следить за пределами интегрирования и переменной интегрирования.
В чём проблема-то?

[Praded]

Praded в сообщении #698956 писал(а):

ответ на свой вопрос не нашел

Позволю с вами не согласиться, ибо ответ на ваш вопрос находится в первом же по порядку источнике, который выдаёт поисковик, а именно http://venec.ulstu.ru/lib/disk/2010/Ankilov.pdf . На стр. 69 в первом абзаце сверху читаем:
"...криволинейгый интеграл $\int\limits_{AB} f(x,y)ds$ при $f(x,y)\geq 0$ численно равен площади цилиндрической поверхности, которая составлена из перпендикуляров к плоскости $0xy$, восстановленных в точках $M(x,y)$ кривой $AB$ и имеющих переменную длину $f(x,y)$ (рис 3.2)."
gris именно это и пытался до вас донести.
Там же можно прочитать о физическом смысле криволинейного интеграла.

[inginegr]

Praded, ИСН
Спасибо.
gris
Да проблема скорее всего в том, что перерывы делать надо. Вчера под вечер уже в ступор какой-то вошел и элементарные вещи перестал понимать . Сегодня с утра вроде разобрался, что он из себя представляет. Сначала интегрируем по линии DC, а потом по линии BC.

$$\intop_{0}^{4} 2x dx + \intop_{0}^{2} 4y dy = 24$$

[gris]

Всё-таки это некорректно и может привести к ошибке. Интегрировать надо вдоль всей кривой. Конечно, там два минуса сокращаются, и ответ правильный,но лучше будет написать

$$\intop_{ABCD} xy ds= \intop_{AB} xy ds+\intop_{BC} xy ds+\intop_{CD} xy ds +\intop_{DA} xy ds=0+ \intop_{0}^{2} 4y dy +\intop_{4}^{0} 2x d(-x) +0= 24$$

[inginegr]

gris
Ну математики прям любят, чтобы все было четко по линеечке