Производные

[Limit79]

Найти $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{dz}{dx}$, если: $z=2e^{y^2}-\ln(x-2y), y=\cos(2x)$

Правильно ли я понимаю, что в первом случае мы вообще не используем $y(x)$ ?

То есть будет так:

$\frac{\partial z}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x-2y} \cdot (1-0) = \frac{1}{2y-x}$

$\frac{dz}{dx} = 0 - \frac{1}{x-2y} \cdot (1-2 \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{1}{2y-x} \cdot (1+4 \sin(2x))$

Верно ли?

Заранее спасибо за помощь!

[ewert]

Limit79 в сообщении #698766 писал(а):

$\frac{dz}{dx} = 0 - \frac{1}{x-2y} \cdot (1-2 \cdot \frac{dy}{dx}) $

Совсем неверно. Стандартную формулу для полной производной можете написать?

[Limit79]

ewert
Вот эта $\frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}$ ?

-- 20.03.2013, 17:19 --

То есть будет вот так?

(Оффтоп)

[Dan B-Yallay]

Теперь правильно.

Стоп! Возможно я поторопилсяПочему бы не подставить $y=\cos 2x$ в $z$ и не взять производную для проверки?

[ewert]

Limit79 в сообщении #698852 писал(а):

Вот эта $\frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}$ ?

Нет, не эту. Эта (в том виде, как Вы её записали), даже и не верна. А такую:

$$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}.$$

Вам её не могли не давать.

[Limit79]

Dan B-Yallay
Не сходятся.

ewert
Честно говоря, такую формулу вижу впервые. Сейчас посмотрел в двух книжках - тоже не нашел ее.

-- 20.03.2013, 18:14 --

ewert
По формуле, которую дали Вы, получается вот такая штука:

(Оффтоп)

И эта штука вроде как сходится, если изначально подставить в функцию $z(x,y)$ функцию $y(x)$, то есть получим функцию одной переменной $z(x)$ и найдем $\frac{dz}{dx}$.

[ewert]

Limit79 в сообщении #698888 писал(а):

По формуле, которую дали Вы, получается вот такая штука:

Ну правильно, только последние полторы строчки совершенно лишние.

Limit79 в сообщении #698888 писал(а):

Честно говоря, такую формулу вижу впервые.

Тогда скажем так: вам не могли дать такую задачку, не дав предварительно эту формулу.

[Limit79]

Цитата:

Ну правильно, только последние полторы строчки совершенно лишние.

То есть не надо подставлять функцию?

Цитата:

Тогда скажем так: вам не могли дать такую задачку, не дав предварительно эту формулу.

Так по сути эту задачу можно решить предварительно подставив $y(x)$ в $z(x,y)$, то есть без этой формулы, или нет? Если Вы говорите, что не надо подставлять в результате $y(x)$ - то без этой формулы никак, но почему нельзя этого делать?

[ewert]

Limit79 в сообщении #698904 писал(а):

Так по сути эту задачу можно решить предварительно подставив $y(x)$ в $z(x,y)$, то есть без этой формулы, или нет?

Можно, однако задачка в том виде, как она была сформулирована --именно на применение той формулы. В противном случае она довольно бессмысленна. По этой же причине не имеет смысла делать и подстановку в конце. Формально можно, но фактически содержательного смысла не имеет.

[Limit79]

ewert
Совершенно справедливо, понял. Спасибо!