Базис подпространства решений системы уравнений

[shadeware]

Задание: найти базис и размерность подпространства решений системы уравнений

2 | 1 | 1 | -1 | 1  | 0
1 | 2 | 1 | 1  | -1 | 0
0 | 3 | 1 | 3  | -3 | 0
5 | 4 | 3 | -1 | 1  | 0

Систему я решил, размерность нашел, а вот что такое базис - не понимаю. Я умею находить только базис по столбцам, но тут явно что-то другое.
Вот система, которую я получил

1  1  2/3  0  0  0
0  1  1/3  1 -1  0

И правильный ответ на задачу:
$x_1 = x_2 + 2x_4 - 2x_5$
$x_3 = -3x_2 - 3x_4 + 3x_5$

$x_1 = (1,1,-3,0,0)$
$x_2 = (2,0,-3,1,0)$
$x_3 = (2,0,3,0,1)$

Вообще не понимаю, как был получен ответ. Прошу подсказать, что требуют в задании.

Deggial: формулы поправил

[SpBTimes]

Для начала выясните, сколько строк линейно зависимы. Если $n$ - количество неизвестных, то $n - rang(A)$ - количество базисных решений. Дальше выписываете общее решение

[shadeware]

SpBTimes в сообщении #698564 писал(а):

Для начала выясните, сколько строк линейно зависимы. Если $n$ - количество неизвестных, то $n - rang(A)$ - количество базисных решений. Дальше выписываете общее решение

Я понимаю, как найти размерность.
Но не понимаю, что подразумевается под базисом.
Препод как-то упоминал, что много студентов ошибаются на этой задаче и решают другую задачу - нахождение базисных столбцов.

-- 20.03.2013, 08:28 --

Кажется, разобрался. Скорее всего, в "правильном" решении ошибка, и уравнение получено неправильно.
Чтобы получить базис из тех уравнений, нужно перебрать все свободные элементы (2, 4 и 5), т.е. подставить в уравнения 3 комбинации из свободных элементов: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Может, кому-нибудь пригодится.

[ewert]

shadeware в сообщении #698432 писал(а):

И правильный ответ на задачу:
$x_1 = x_2 + 2x_4 - 2x_5$
$x_3 = -3x_2 - 3x_4 + 3x_5$

$x_1 = (1,1,-3,0,0)$
$x_2 = (2,0,-3,1,0)$
$x_3 = (2,0,3,0,1)$

Во-первых, правильных ответов бесконечно много, и вот в этом просто другие переменные были выбраны свободными, нежели у Вас. Во-вторых, это решение означает, что

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_2+2x_4-2x_5\\x_2\\-3x_2-3x_4+3x_5\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}1\\1\\-3\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}2\\0\\-3\\1\\0\end{pmatrix}+x_5\begin{pmatrix}-2\\0\\3\\0\\1\end{pmatrix}\quad (\forall x_2,x_4,x_5),$

как там и написано (обозначения, скорее всего, Вы сами присочинили).