сюръекция

[devgen]

Отображение $f:\mathbb X\ \to \mathbb Y$ есть сюръекция, если $f(X)=Y$. А какое отображение будет несюръективным?

1.$\exists x\in \mathbb X:f(x)\notin \mathbb Y$
2. $\exists y\in \mathbb Y:\forall x\in \mathbb X\ f(x)\neq y$

Я думал и 1, и 2, но "Зорич" просит показать, что отображение только тогда сюръективно, когда для любого множества $B$ из $\mathbb Y$, $f$ от прообраза $B$ это $B$. Получается случай 1. вообще невозможен? Почему?

[Xaositect]

По определению отображения.

[devgen]

Xaositect
Спасибо

А когда возникает ситуация, что мы рассматриваем не сюръективные функции?

[Xaositect]

Много когда. Начиная с квадратных трехчленов. Мы не всегда хотим точно определять область значений функции, а просто говорим, что значения, например, действительные.

[devgen]

Xaositect

$f(X)=Y\; iff \; f(f^{-1}(B))=B, \; \forall B \in Y$; где $f^{-1}(B)$ прообраз: $f^{-1}(B)=\{x\inX| f(x)\in B\} $


Если отображение не сюръективно, то существует элемент $y \in Y$, такой, что у него нет прообраза. Выберем такое подмножество $B\inY$, чтобы оно содержало этот элемент, тогда $f(f^{-1}(B))$ и $B$ отличаются ровно на этот элемент, значит они не равны. Отрицая это утверждение, получим, что если $f(f^{-1}(B))=B$, то отображение сюръективно.

В другую сторону: положим $f(f^{-1}(B))=B$ неверно, тогда, должен существовать элемент в $B$, у которого нет прообраза, значит отображение не сюръективно. Противоречие.

Верно?

[Xaositect]

Верно, только $B\subset Y$, а не $B\in Y$. И вот здесь:

Цитата:

тогда $f(f^{-1}(B))$ и $B$ отличаются ровно на этот элемент

не обязательно ровно, но это неважно.

[devgen]

Xaositect
Ясно, спасибо