Потенциал внутри полого шара

[Omega]

Помогите разобраться:
Имеется равномерно заряженный по объёму зарядом $Q$ полый шар с внутренним радиусом $R_{1}$ и внешним - $R_{2}$. Необходимо определить потенциал $\varphi_{0}$ в точке, на расстоянии $r$ от центра шара.
С обычным шаром радиуса $R$ всё понятно: $\varphi(r)=\dfrac{kQ}{2R} \left (3- \left (\dfrac{r}{R} \right)^{2} \right)$ .
А вот как поступить в подобном случае?
Начнём с того, что $\varphi(r)=\int\limits_{r}^{\infty} \vec{E}d \vec{r}$. Так как в полости отсутствует электрическое поле, то $\varphi(r)=\int\limits_{R_{1}}^{R_{2}} \vec{E_{1}}d \vec{r} + \int\limits_{R_{2}}^{\infty} \vec{E_{2}}d \vec{r} $ , где $E_{1} , E_{2}$ - напряжённости электрических полей в толще шара и снаружи соответственно. По моему предположению : $E_{2} = \dfrac{kQ}{R_{2}^{2}}$. А как найти $E_{1}$ ? И вообще, пока всё ли я верно написал?

[osa]

Поля можно найти, используя теорему Гаусса. $E_2$ зависит от расстояния до центра системы.

[DimaM]

Добавьте к однородной заряженному шару радиуса $R_{2}$ еще один шар радиуса $R_{1}$, заряженный однородно с другим знаком.
После этого задача достаточно тривиальна.

[Omega]

Да, конечно, извиняюсь за опечатку: $E_{2}=\dfrac{kQ}{r^{2}}$ .
То есть $E_{1}=\dfrac{kQ (r^{3}-R_{1}^{3})}{R_{2}^{3}-R_{1}^{3}}$ ?
DimaM, Вы имеете в виду, что заряд у каждого тот же - $Q$?

$$\varphi(r)=\dfrac{kQ}{2R_{2}} \left (3- \left (\dfrac{r}{R_{2}} \right)^{2} \right) - \dfrac{kQ}{2R_{1}} \left (3- \left (\dfrac{r}{R_{1}} \right)^{2} \right) ?$$

Каким образом, можно доказать, что подобная замена полого шара на два разноимённых верна?

[DimaM]

Omega в сообщении #698035 писал(а):

DimaM, Вы имеете в виду, что заряд у каждого тот же - $Q$?

Нет, я имею в виду, что плотности заряда по модулю одинаковы.

Цитата:

Каким образом, можно доказать, что подобная замена полого шара на два разноимённых верна?

Плотности складываются, в середине получается ноль - очевидно, по-моему.

[Omega]

То есть, если $Q_{1},Q_{2}$ -заряды этих шаров, то $\dfrac{Q_{1}}{Q_{2}}=-\dfrac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}$ ?

[DimaM]

Omega в сообщении #698039 писал(а):

То есть, если $Q_{1},Q_{2}$ -заряды этих шаров, то $\dfrac{Q_{1}}{Q_{2}}=-\dfrac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}$ ?

Да.
Это вообще стандартный способ решения подобных задач (когда есть "дырки" правильной формы).

[Omega]

Тогда какими граничными условиями можно задать то, как $Q_{1}$ и $Q_{2}$ связаны с $Q$ ?

[DimaM]

Omega в сообщении #698047 писал(а):

Тогда какими граничными условиями можно задать то, как $Q_{1}$ и $Q_{2}$ связаны с $Q$ ?

$Q=Q_2+Q_1.$

[Omega]

Выходит в итоге:

$$\begin{cases}\varphi=\dfrac{3kQ (R_{2}^{2}-R_{1}^2)}{2(R_{2}^{3}-R_{1}^3)}, r \in [0,R_{1}] \\ \varphi=\dfrac{kQ \left (3R_{2}^{2}-r^{2}-\dfrac{2R_{1}^{3}}{r} \right)}{2(R_{2}^{3}-R_{1}^3)}, r \in [R_{1},R_{2}] \\ \varphi=\dfrac{kQ}{r}, r \in [R_{2},\infty) \\\end{cases}$$

Вроде бы на $r \in [0,\infty)$ $\varphi$ непрерывен. Всё ли верно?

[DimaM]

Вроде верно.

[Omega]

Спасибо большое,DimaM.
Вы мне очень помогли.

[Omega]

Но я всё же хотел уточнить. Как бы пришлось решать подобную задачу, но по поиску гравитационного потенциала этого полого шара? Ведь как мне известно принципа суперпозиции гравитационных полей не существует.

[nikvic]

Omega в сообщении #698102 писал(а):

Ведь как мне известно принципа суперпозиции гравитационных полей не существует.

Вам известно не то. Сформулируйте и пользуйтесь на здоровье - как в электростатике.

[Munin]

В ньютоновской теории принцип суперпозиции гравитационных полей выполняется. В ОТО - не выполняется. Но ОТО отличается от ньютоновской теории уточнениями, которые могут быть пренебрежимо малы. Поэтому за исключением специальных задач, явно требующих ОТО, подразумевают ньютоновскую теорию.

Если требовать учёта ОТО, то такую задачу решали бы с использованием известного гравитационного потенциала внутри и снаружи полного шара (решение Шварцшильда).