Как восстановать сигнал из спектра?

[ecliptic]

Сабж. Можно ли сделать сигнал из спектра?

Для того, чтобы создать спектр из сигнала используют преобразование Фурье. Берут по модулю, нормируют, создают массив частот и строят график зависимости амплитуды от частота. На основание этого графика можно ли построить изначальный сигнал? Плохо разбираюсь в теме. В некоторых источниках говорится, что этого недостаточно, еще необходимо знать фазово-частотную характеристику, так ли это? Помогите разобраться в вопросе. Весь интернет загуглил --- информации мало и сомнительная.
И к чему обратное преобразование Фурье? Если сделать из сигнала в спектр и сразу обратно --- работает. А если добавить манипуляций --- непонятно что происходит.
Сигнал не постоянный.

[zask]

ecliptic в сообщении #697875 писал(а):

Берут по модулю, нормируют, создают массив частот и строят график зависимости амплитуды от частота.

Это что за операции? Если Вы делаете Фурье, то зачем какие-то доп. операции? Вы из сигнала можете получить спектр Фурье, а из спектра - полностью восстановить сигнал. При чем тут "берут по модулю", "нормируют"?
Спектр:
$\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$
Формула обращения:
$f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega$

Но если Вы предварительно сделали какие-либо операции с сигналом, то, естественно, что из полученного спектра Вы сможете восстановить только обработанный сигнал.

[nikvic]

ecliptic в сообщении #697875 писал(а):

На основание этого графика можно ли построить изначальный сигнал?

Нельзя.
Однако считается, что человеческий слух не реагирует на фазы

[ecliptic]

Когда писал про эти операции, основывался на этой статье http://habrahabr.ru/post/112068/ и по этому описанию http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/fft.html
Они же верны?

[zask]

Так это дискретное преобразование Фурье. Насколько я понимаю, справедливое только для периодических сигналов. Кроме того, могут быть проблемы с теоремой Котельникова. Здесь нужно найти спецов по дискретным сигналам.

[ecliptic]

zask, на сайте матлаба приводится оператор обратного дискретного преобразования Фурье, который легко работает, но только с компексными значениями.
Вот только после построения спектра, избавляясь от мнимых значений, нельзя применить обратное преобразование. Получается, как сказал nikvic, нельзя построить сигнал из спекра. Имеет жизнь такое рассуждение?

[zask]

Нет, я Вам не подскажу. Единственное, дам совет соблюдать теорему Котельниква - чтобы частота дискретизации была бы вдвое выше полосы пропускания, иначе будут возникать паразитные (реально отсутствующие) частоты спектра.

[ecliptic]

zask, благодарю!

[zask]

Хотя, возможно, как раз эти паразитные частоты и не дают построить сигнал. В описании дискретного и быстрого ПФ нигде не сказано о принципиальной невозможности восстановления. Очень вероятно, что дело именно в этом. Постройте на бумаге для тренировки сигнал с какой-нибудь низкой частотой дискретизации $\Delta$, скажем сигнал с частотой $5\omega$. Вы можете увидеть в этом случае, как через те же самые точки проводится сигнал с другой частотой - например $6 \omega$. Естественно, восстановление исходного сигнала в этом случае невозможно! Увеличивая частоту дискретизации Вы уведете паразитные частоты за полосу.

[epros]

1) Математически: Сигнал можно восстановить по спектру обратным преобразованием Фурье. Если сигнал периодический, то спектр будет дискретным и из него можно восстановить периодический сигнал. Если сигнал дискретный, то спектр будет периодическим из него можно восстановить дискретный сигнал.

2) Практически: Если Вы называете «спектром» только амплитудную характеристику, т.е. данные о фазах гармоник утрачены, то сигал восстановить не получится.

[Oleger99]

Если вы считаете реальную и мнимую часть спектра - то восстановить сигнал можно однозначно. Если же вы, как следует из вашего описания, получаете спектр мощности сигнала, то информация о фазе теряется. Если спектр получается как ДПФ (дискретное преобразование Фурье), то по теореме Котельникова, вы знаете только о частотах, вдвое меньших частоты дискретизации.

[Theoristos]

ecliptic в сообщении #697924 писал(а):

zask, на сайте матлаба приводится оператор обратного дискретного преобразования Фурье, который легко работает, но только с компексными значениями.
Вот только после построения спектра, избавляясь от мнимых значений, нельзя применить обратное преобразование. Получается, как сказал nikvic, нельзя построить сигнал из спекра. Имеет жизнь такое рассуждение?

Дискретное работает не с "сигналом", а значениями на равномерном наборе точек. Если составить тригонометрический ряд с коэффициентами из дискретного преобразования (грубо говоря), результат будет _в этих точках_ иметь значения равные исходным. Вот такой смысл обратного преобразования.

[GAttuso]

ecliptic
Я, к сожалению, так и не понял из ваших сообщений какую конкретно проблему вы решаете.
Чтобы однозначно восстановить исходный сигнал необходимо знать АЧХ и ФЧХ данного сигнала и, используя формулы, которые уже привел zask это можно сделать (конечно, если речь идет о разложении в тригонометрический ряд Фурье. Полученный сигнал может отличаться от исходного лишь на конечном множестве точек, что на практике ни имеет никакого значения, поэтому можно говорить, что отображение взаимно-однозначное).

Подробнее смотрите в соответствующей литературе:
Баскаков С.И. "Радиотехнические Цепи и Сигналы"
Гоноровский И.С. "Радиотехнические Цепи и Сигналы"
Оба учебника примерно равноценны, подходы немного разные, суть одна. Если нужно более подробно про техническую реализацию, особенно про БПФ, советую:
Залманзон "Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение".
Если вы более продвинуты (математик или физик) можете глянуть что-то более продвинутое, например Френкс "Теория сигналов", я лично ее как раз сейчас с большим скрипом осиливаю.

[profrotter]

Нет такого понятия АЧХ и ФЧХ сигнала. Есть понятие амплитудный и фазовый спектр. АЧХ и ФЧХ определяются применительно к линейным системам (цепям).

[GAttuso]

Да, пардон, вы совершенно точны.