(0;1) -> / <- [0;1]

[devgen]

Which of the following statments are true about the open interval $(0;1)$ and the closed interval $[0;1]$?

I. There is a continuous function from $(0;1)$ onto $[0;1]$
II. There is a continuous function from $[0;1]$ onto $(0;1)$
III. There is a continuous one-to-one function from $(0;1)$ onto $[0;1]$

II Функция непрерывная на отрезке, ограниченна на нём и принимает свои максимальное и минимальное значения.
Противоречие. Я правильно понимаю, что onto тут существенно потому, что в формулировке "There is a continuous function from $[0;1]$ to $(0;1)$" range функции мог быть, например, $[0.5;0.5]$ и никакого противоречия бы не было?

III Функция и one-to-one, и onto, значит существует обратная, что сводит к случаю II.

I Достаточно придумать функцию, которая бы принимала значения $0$ и $1$, значит в силу непрерывности, примет и все промежуточные. Могу я просто взять взять функцию $y=-16(x-1/4)(x-3/4)$ и сказать, что её domain $(0;1)$?

Ошибся, нужно взять

y: $(0;1)\to[0;1]$

$$ y=\begin{cases} 0,& x \in (0;1/4)\cup (3/4;1)\\ -16(x-1/4)(x-3/4),& x \in [1/4;3/4] \end{cases} $$

[SpBTimes]

Если отображение прямо-таки "на", а не "в", то все утверждения ложны. Непрерывное отображение переводит открытое мн-во в открытое, а замкнутое - в замкнутое

[Slip]

SpBTimes
константа не непрерывна?;)

[devgen]

В чем ошибка здесь?

y: $(0;1)\to[0;1]$

$$ y=\begin{cases} 0,& x \in (0;1/4)\cup (3/4;1)\\ -16(x-1/4)(x-3/4),& x \in [1/4;3/4] \end{cases} $$

[SpBTimes]

Ох, что-то это я сильно виноват . С головой что-то.
Конечно, образ замкнутого и открытого мн-ва при непрерывном отображении может быть каким угодно.
devgen
все верно.
А вот со вторым не получится - т.к. компактное мн-во отображается в компактное

[Oleg Zubelevich]

devgen в сообщении #697857 писал(а):

III. There is a continuous one-to-one function from $(0;1)$ onto $[0;1]$

нет