Разложить многочлен на множители

[Hoaxer]

$x^4+4x^3+4x^2+1$;
Применил Бином Ньютона и получилось вот что:

$x^4+4x^3+6x^2+4x+1-2x^2-4x=(x+1)^4-2x(x+2)=$
$=((x+1)^2+\sqrt{2x(x+2)})((x+1)^2-\sqrt{2x(x+2)})$, что дальше делать так и не понял. К примеру, что делать с корнями?

[nnosipov]

Hoaxer в сообщении #556389 писал(а):

К примеру, что делать с корнями?

Вы их сначала найдите (это и есть подсказка), а потом уже будете с ними что-нибудь делать. (Кстати, все корни здесь комплексные.)

И ещё подумайте над формулировкой задачи --- "разложить многочлен на множители". Это очень неконкретно.

[ИСН]

$x+1$ взять за новую переменную и переписать многочлен через неё; тогда откроются новые перспективы.

[Профессор Снэйп]

Вы до этой замены просто догадались, или были какие-то предпосылки для выбирания именно её?

(Оффтоп)

Для многочленов четвёртой степени есть, конечно, формулы Феррари. Но уж больно они громоздкие для того, чтобы ими пользоваться! Матпакеты, конечно, их используют, но для людей они, по моему скромному мнению, практически неприемлемы.

[ИСН]

Догадался обычным методом: решил железякой, посмотрел корни

[RIP]

На самом деле для многочлена 4-й степени $x^4+ax^3+\ldots$ замена $x=y-a/4$ стандартна: она избавляет от $x^3$. В данном случае нам повезло и мы одновременно избавляемся от первой степени. Кроме того, в данном примере эта замена ну очень напрашивается после проделанных в первом посте преобразований.

[bot]

Если на комплексную плоскость выходить дозволяется, то сходу без железяки магистральный путь виден.

[Hoaxer]

Разложить на линейные и квадратные множители над полем вещественных чисел многочлен, вот так стоит задача:

После того как заменил $(x+1)^2 = a$ , получилось вот что:
$(x+1)^2-2(x+1)+2=a^2-2a+2=0;$
$D=4-8=-4;$
$a_{1}=1-i; a_{2}=1+i;$
$(x+1)=+\sqrt{1-i};(x+1)=-\sqrt{1-i}$
$(x+1)=+\sqrt{1+i};(x+1)=-\sqrt{1+i}$
Если использовать методы нахождения корней 4-ой степени, получается тоже самое, но вот как от полученного прийти к рациональной записи - понятия не имею.

[RIP]

Раз уж корни найдены, то можно пойти стандартным путём и сгруппировать комплексно сопряжённые корни парами. В данном случае можно проще и даже без комплексных чисел: если обозначить $x+1=y$, то надо раскладывать биквадратный трёхчлен, что всегда можно сделать без привлечения комплексных чисел (стандартный пример-подсказка: $x^4+4=(x^4+4x^2+4)-4x^2=\ldots$).

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #556448 писал(а):

Вы до этой замены просто догадались, или были какие-то предпосылки для выбирания именно её?

$x^4+4x^3+4x^2+1=x^2 (x+2)^2+1$, после чего эта замена прямо-таки напрашивается.

[muzeum]

Мне показалось, что что равенство
$x^4+4x^3+4x^2+1=(x^2+2x)^2+1$ можно получить из формулы квадрата суммы. Т.к. корней вещественных все равно нет, то просто находим комплексные. Достаточно найти пару несопряженных.

[radistao]

Здравствуйте.
а как на счет разложить на множители:
$x^4 + x^2 + 2x + 6$

[mihailm]

методом неопределенных коэффициентов наверно быстрее, Феррари несколько дольше.

[Toucan]

radistao, замечание за дублирование сообщения.

Кроме этого, обратите внимание, что в шапке данного раздела (Высшая алгебра) русским по рыжему написано:

Цитата:

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

[radistao]

понял, больше не буду