Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

[randy]

Дан интеграл
$\int {\frac {(2x-1)dx}{x^2+2x+2}}$
я выделил полный квадрат в знаменателе $\int {\frac {(2x-1)dx}{(x+1)^2+1}}=2\int {\frac {xdx}{(x+1)^2+1}}-\int {\frac {dx}{(x+1)^2+1}}$ Получилась некая разность, у первого интеграла нужно избавиться от икса, второй табличный. Вот только как избавляться от $x$?
В учебнике дана формула для решения выражений вида $\int { \frac {Ax+B}{ax^2+bx+c}}$
числитель сопоставляют с производной знаменателя $(Ax+B)=\frac {A}{2a} (2ax+b)-\frac {Ab}{2a}+B$ - как получилось это равенство я не понял

[Praded]

$\int {\dfrac {(2x-1)dx}{x^2+2x+2}}=\int {\dfrac {[(2x+2)-3]dx}{x^2+2x+2}}$

[Limit79]

и $d(x^2+2x+2) = ...$

[randy]

Понял. А с формулой из учебника поможете?

[Limit79]

randy
Покажите ее в оригинале.

[randy]

Limit79 в сообщении #697728 писал(а):

randy
Покажите ее в оригинале.

$\int { \frac {Ax+B}{ax^2+bx+c}}=\FRAC {A}{2a} \int {\frac {(2ax+b)dx}{ax^2+bx+c}}+(B-\frac {Ab}{2a})\int {\frac {dx}{ax^2+bx+c}}$

[Sinoid]

Во-первых, в первом интеграле забыто $dx$, а во-вторых, сама формула неверна: если подсчитать подынтегральные функции в правой части, не получается подынтегральной функции левой.

[ewert]

randy в сообщении #697711 писал(а):

$\int {\frac {(2x-1)dx}{(x+1)^2+1}}=2\int {\frac {xdx}{(x+1)^2+1}}-\int {\frac {dx}{(x+1)^2+1}}$ Получилась некая разность, у первого интеграла нужно избавиться от икса, второй табличный. Вот только как избавляться от $x$?

Это -- типичная студенческая ошибка, ведущая в тупик. Вы преждевременно разделили почленно. С проблемами следует бороться исключительно по мере их поступления.

Вот Вы увидели, что знаменатель нехорош, и решили поправить дело, выделив полный квадрат. Ну так и доведите это дело до конца -- оформив напрашивающуюся замену, чтоб упростить хоть знаменатель; числитель же при этом какой получится, такой и ладно -- существенно хуже он уж точно не станет.

И только после этой замены делите почленно. Тогда это автоматом станет осмысленно.