Пирамида. Расстояние между точками S и E

[Keter]

Длина каждого ребра треугольной пирамиды $SABC$ равна $1.$ Отрезок $BD$ есть высота треугольника $ABC.$ Равносторонний треугольник $BDE$ лежит в плоскости, образующей угол $\varphi$ с ребром $AC,$ причём точки $S$ и $E$ лежат по одну сторону от плоскости $ABC.$ Найти расстояние между точками $S$ и $E.$

Точка $E$ находится вне пирамиды? С чего начать? Можно ли обозначить $BD=a$ и пытаться составить равенства, чтобы $a$ сократилось? Вроде не получается...

[gris]

Она может находится и вне пирамиды. Точка $E$ находится на окружности. На конце радиуса, определяющего и угол $\varphi$. Вот представьте, что угол меняется и радиус вращается.
Подсказка: средняя линия в основании.Прямая, проходящая через центр основания. Таки средняя линия
Конечно, саму окружность находить не надо, это просто для наглядности. Подумайте, в каком сечении задача превращается в плоскую.

[Keter]

gris, сейчас подумаю.

Почему-то при первой попытке решения сразу провёл $KC' \parallel AC$. Точка $K$ - середина $BD,$ и $EC' \perp (ABC).$ Тогда я хотел рассматривать плоскость $(SOC'),$ где $O$ - точка пересечения медиан основания.

[gris]

Зачем Вам середина $BD$? Точка $O$ тоже лежит на $BD$ и через неё тоже можно провести параллельную к $AC$. Вы на правильном пути. Плоскость, проходящая через высоту пирамиды, будет содержать всё необходимое для решения.

[Keter]

В основании правильный треугольник $ABC,$ $BD$- медиана, высота, биссектриса. Точка $O$ - точка пересечения медиан, то есть $BD, AD_1, CD_2,$ например. А средняя линия это же $D_1D_2.$ Или нет?

(Оффтоп)

Прошу прощения, что так долго. Хлебушек испёкся, надо было достать

[gris]

Ой, точно! Средняя линия же это не то. Это как раз Вы и проводили среднюю линию через точку $K$. Я имел в виду прямую, проходящую через $O$ и параллельную $AC$. Она будет перпендикулярна $BD$ и $SO$ естественно.

[Keter]

$SC$ ? Вы имели в виду $SO$ ?

[gris]

Воистину, без бумажки мы букашки Не на чем нарисовать
Конечно высоте пирамиды. Нет чертежа перед глазами, вот и путаются буквы.

[Keter]

Не понимаю как использовать то, что $SA=SB=SC=1$ ?



-- 17.03.2013, 23:35 --

gris, а как мы можем говорить, что $\angle EOC' = \varphi,$ ведь $O$ не середина $BD.$ А по условию $ABE$ - правильный, значит перпендикуляр, проведенный из точки $E$ к стороне $BD,$ является и медианой. То есть нам нужна именно средняя линия. Вроде...

[gris]

Ну вот. Теперь видно всё. Да, средняя линия. То есть мы можем найти $BD, KE, EC_1, KC_1, KO, OC_1$, где $K$ Ваша середина $BD$, а не та, что на чертеже. Потом теорема Пифагора.
Немного длиннее, чем я предполагал. А длина ребра нужна для нахождения высоты. Из неё вычтем $EC_1$ и найдём расстояние он $S$ до проекции точки $E$ на высоту.

Вообще посмотрите, может быть покороче получится, хотя вроде бы только теорема Пифагора и используется, ничего более сложного.

[Keter]

gris, найти $BD$... у меня не получается

-- 18.03.2013, 00:07 --

Если взять $AB=a,$ то

$BD=a\sqrt3 /2, \quad KE=3a/4, \quad EC_1=3a \sin \varphi /4, \quad KC_1=3a \cos \varphi /4,$

$KO=BO-BK=a\sqrt3 /12,$

$OC_1=\sqrt{KO^2+KC_1^2}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{144}+\dfrac{9a^2 \cos^2 \varphi}{16}}=\dfrac{a}{12}\sqrt{3+81 \cos^2 \varphi}$

-- 18.03.2013, 00:17 --



У меня изначально не получалось выразить это расстояние. Я думал, что накрутил со средней линией, но оказалось, что всё правильно. А теперь через что выражать опять не разберусь?

[gris]

Это же высота в правильном треугольнике со стороной $1$. В основании же тоже рёбра по 1. Ну давайте немного сверим.
$BD^2=AB^2-AD^2=3/4$
$BD=DE=BE=\sqrt3/2$
$KB=BD/2=\sqrt3/4$
$BO=2/3\cdot BD=\sqrt3/3$
$KO=KB-BO=\sqrt3/12$
$KE^2=BE^2-KB^2=3/4-3/16=9/16$
$KE=3/4$

Всё правильно.
$EC_1=KE\sin \varphi;KC_1=KE\cos \varphi;$
$OC_1^2=OK^2+KC_1^2=3/144+9/36\cos^2 \varphi;$

Ну а теперь опустим перпендикуляр из $E$ на $SO$. Пусть это будет точка $E_1$.

$SO^2= SB^2-OB^2=1-1/3=2/3$
$SO=\sqrt6/3$
$OE_1=C_1E$
$EE_1=OC_1$
$SE_1=SO-OE_1$

Ну и $SE^2=SE_1^2+EE_1^2$

[Keter]

gris, ДА?? Вот же ... Всё думал, что рёбра в основании не считаются

$KC_1=KE \cdot \cos \varphi=\frac{3}{4} \cos \varphi$
$OC_1^2=OK^2+KC_1^2=\Big(\frac{\sqrt3}{12} \Big)^2+\Big(\frac{3}{4} \cos \varphi \Big)^2=\frac{3+81 \cos^2 \varphi}{144}$
$SO^2=1-BO^2=1-\Big(\frac{\sqrt3}{3}\Big)^2=\frac{2}{3}$
$SO=\frac{\sqrt6}{3}$
$EC_1=KE \cdot \sin \varphi=\frac{3}{4} \sin \varphi$
$SO-EC_1=\frac{\sqrt6}{3}-\frac{3}{4} \sin \varphi$

$SE^2=(SO-EC_1)^2+OC_1^2=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt6}{2} \sin \varphi+\frac{9 \sin^2 \varphi}{16}+\frac{3+81 \cos^2 \varphi}{144}=$
$\frac{84}{144}+\frac{2}{3}-\frac{\sqrt6}{2} \sin \varphi=\frac{45-18\sqrt{6} \sin \varphi}{36}=\frac{5-2\sqrt{6} \sin \varphi}{4}$

$SE=\frac{1}{2}\sqrt{5-2\sqrt6 \sin \varphi}$

Спасибо за помощь.