Отбор корней в тригонометрии, разные перменные

[kis]

В каких случаях нужно использовать разные переменные при отборе корней?
Пример:
$\[\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = - 3\\ \sin y = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ \sin y = \frac{1}{2} \end{array} \right. \end{array} \right.\]$
и ОДЗ $\[\frac{\pi }{2} + 2\pi k < y < \frac{{3\pi }}{2} + 2\pi k\]$

в задачнике ответ выглядит так:
$\[x = 3,\,\,y = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi n\,\,(n \in Z);\,\,x = 4,\,\,y = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi m\,\,(m \in Z)\]$

почему нельзя взять одну переменную и записать вот так?
$\[x = 3,\,\,y = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi n\,\,(n \in Z);\,\,x = 4,\,\,y = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi n\,\,(n \in Z)\]$

ведь $m$ и $n$ принадлежат одному множеству

[gris]

В данном случае вполне можно использовать одну переменную. Две приведены для перестраховки, чтобы не было вопросов.
Вопрос использовать одну или больше переменных существенен в уравнениях/системах, где переменные используются в ответах по каждой неизвестной.
Пример:

$\sin x\cdot \sin y = 0$
Надо использовать две переменные, чтобы не связывать неизвестные.

$\left\{ \begin{array}{l}x = y+\pi;\\\sin x\cdot \sin y = 0\end{array} \right.$
Придётся использовать одну.

[kis]

Почему вы говорите "придется использовать одну"?

$\[\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \pi n\\ y = - \pi + \pi n \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = \pi + \pi n\\ y = \pi n \end{array} \right. \end{array} \right.\]$

(это решение системы из вашего поста)

две переменные приведут к неверному решению?

[gris]

Зачем так длинно?
Ответ: $(\pi n,\pi (n-1)), n\in \mathbb Z.$ Тут только одна переменная $n$. Вторая не нужна.

К первому же уравнению ответ
$(\pi n,\pi m), n,m\in \mathbb Z.$ Тут уже две переменные $n$ и $m$, чтобы не потерять решения.

[kis]

Да, для первого уравнения понятно, почему нужно брать две переменные, - иначе потеряются корни когда $x \ne y$

Просто вы употребили слово "придется" (категорично), т.е. "только так и никак иначе". поэтому я и интересуюсь - во второй системе нельзя использовать две переменные?

[gris]

Можно, но придётся их связывать, что в ответах не принято делать.
Но, конечно, не возбраняется написать $x=\pi n (n\in \mathbb Z), y=\pi m (m\in \mathbb Z), n=m+1$, но это неэкономно с точки зрения компактности и понятности формулы.
Другое дело, когда одна переменная не выражается простой формулой через другую.
Попробуйте обойтись одной переменной в ответе $x=2+n (n\in \mathbb N); y=3+m (m\in \mathbb N)$, где $n$ наименьшее взаимно простое с $m$.
Тут, хотя натуральные переменные связаны однозначно, выписать выражение второй через первую может быть затруднительно.

[kis]

я немного запутался

в системе $\left\{ \begin{array}{l}x = y+\pi;\\\sin x\cdot \sin y = 0\end{array} \right.$

зачем нужно, как вы выразились, "связывать переменные" ?

почему нельзя обойтись такой формой записи, ничего не связывая?

$\[(\pi k;\,\pi [k - 1]),\,(\pi [1 + n];\,\pi n)\]$

[gris]

У Вас все решения приведены дважды. Это тоже считается ошибкой.

[kis]

но ведь, если мы воспользуемся одной переменной, у нас все равно решения будут повторяться.

-- 16.03.2013, 19:49 --

а! я кажется понял для чего нужно связывать переменные.

если у нас одна переменная, то каждая серия решений будет привязана к конкретной переменной:
n = 1: ( //первый ответ при n=1 ); ( //второй ответ при n=1)
n = 2: ( //первый ответ при n=2 ); ( //второй ответ при n=2 )
. . .

если же переменные две, то будут просто два одинаковых множества решений.

если же связать эти переменные, то каждый ответ будет "ассоциирован" с определенным значением переменной. ( многомерный массив вида "ключ - значение" )

... либо это бред моей больной фантазии

[gris]

У меня: $(\pi n,\pi (n-1)), n\in \mathbb Z.$
$...(-3\pi,-4\pi);(-2\pi,-3\pi);(-\pi,-2\pi);(0,-\pi);(\pi,0);(2\pi,\pi);(3\pi,2\pi)...$ Ни одна пара не повторяется. Напомню, что решение в данном случае это упорядоченная пара чисел.

У Вас $\[(\pi k;\,\pi [k - 1]),\,(\pi [1 + n];\,\pi n)\]$
$k=0; n=0: (0;\,-\pi ),\,(\pi ;\,0)$
$k=1; n=-1:(\pi ;\,0),\,(0;\,-\pi )$
Повторяются все пары.

[kis]

ааа, ясно.

(Оффтоп)

еще небольшой вопрос не по теме: в математике существует знак "между"? например у меня треугольник со сторонами $a,b,c$. нужно указать, что угол между прямыми $a$ и $b$ равен $\varphi$. Как это можно оформить, не используя буквенные обозначения вершин треугольника?

[gris]

Угол между сторонами треугольника по Погорелову обозначается $\angle (a,b), \angle ACB, \angle C$

[kis]

понял, спасибо!