лемма из теории групп

[igor520]

Помогите доказать следующую лемму:
Пусть элементы $\beta$ и $\gamma$ некоторой коммутативной группы имеют порядок $k$ и $l$ соответственно. Причем, $k$ и $l$ взаимно простые числа. Доказать, что порядок элемента $\beta\gamma$ равен $kl$.

[nnosipov]

А в чём затруднения?

[igor520]

nnosipov в сообщении #696436 писал(а):

А в чём затруднения?

ну, это резонный вопрос.... в-принципе, я уже начинаю догадываться как доказать это утверждение, но пока еще нет сложившегося плана действий

[nnosipov]

Здесь достаточно знать определение порядка элемента группы, его основное свойство, а также некоторые простейшие факты из делимости целых чисел.

[igor520]

nnosipov в сообщении #696449 писал(а):

Здесь достаточно знать определение порядка элемента группы, его основное свойство, а также некоторые простейшие факты из делимости целых чисел.

Не уверен насколько это правильный ход мыслей, но вот что получилось:
Рассмотрим подгруппы, образованные степенями элементов $\beta$, $\gamma$ и $\beta\gamma$.
$\langle \beta \rangle =\left\{\beta ^k:k\in \mathbb{Z}\right\}=\left\{\beta ,\beta ^2,\text{...},\beta ^{k-1},e=\beta ^k\right\}$
$\langle \gamma \rangle =\left\{\gamma ^k:k\in \mathbb{Z}\right\}=\left\{\gamma ,\gamma ^2,\text{...},\gamma ^{l-1},e=\gamma ^l\right\}$
$\langle \beta \gamma \rangle =\left\{(\beta \gamma )^k:k\in \mathbb{Z}\right\}=\left\{\beta \gamma ,(\beta \gamma )^2,\text{...},(\beta \gamma )^{m-1},e=(\beta \gamma )^m\right\}=\left\{\beta \gamma ,\beta ^2\gamma ^2,\text{...},\beta ^{m-1}\gamma ^{m-1},e=\beta ^{m}\gamma ^m\right\}$
Первые две - точно циклические, третья - неизвестно.
Нужно доказать, что она тоже циклическая, т.е.
1) все элементы $\left\{\beta \gamma ,\beta ^2\gamma ^2,\text{...},\beta ^{m-1}\gamma ^{m-1},e=\beta ^{m}\gamma ^m\right\}$ различны
2) $m = kl$
Будем действовать от противного и покажем, что $\beta ^i\gamma ^i=\beta ^j\gamma ^j$ только если $i=j$. То есть $e=\beta ^{i-j}\gamma ^{i-j}$, причем $(i-j)=m=kl$.

Поскольку $k$ и $l$ взаимно простые, то среди всех элементов, кроме последнего, не встретится элемент вида $ee$. Причем последним как раз и будет элемент с индексом $m=kl$.

[nnosipov]

igor520 в сообщении #696471 писал(а):

Первые две - точно циклические, третья - неизвестно.

Третья, очевидно, тоже циклическая, только мы не знаем, каков её порядок. Собственно, в определении порядка и состоит задача.

igor520 в сообщении #696471 писал(а):

То есть $e=\beta ^{i-j}\gamma ^{i-j}$

Вот от этого равенства и отталкивайтесь. Считайте, например, $i>j$ и попытайтесь получить противоречие. Подсказка: возведите обе части равенства в степень $k$.

[ИСН]

igor520 в сообщении #696471 писал(а):

Поскольку $k$ и $l$ взаимно простые, то среди всех элементов, кроме последнего, не встретится элемент вида $ee$.

Это верно, но это полдела. А вдруг, например, $\beta^2$, не будучи единицей (положим, порядки обоих элементов какие-то большие и разные), является в точности обратным к $\gamma^2$?

[nnosipov]

igor520 в сообщении #696471 писал(а):

Поскольку $k$ и $l$ взаимно простые, то среди всех элементов, кроме последнего, не встретится элемент вида $ee$

А почему не встретится элемент $e$? Вот и ИСН об этом же спрашивает.