Алгебраическое определение дифференциального оператора

[Non-math]

Прочитал в книге Виноградов А. М., и др. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. стр 37-38 (второй параграф главе 0: введение) утверждение:

Цитата:

"Хорошо известно, что верно и обратное, т. е. что всякий R-линейный оператор D пространстве гладких функций ($C^{\infty}(U)$, $U\subset R^n$), удовлетворяющий правилу Лейбница D(fg)=D(f) g+fD(g), имеет вид $D=\sum^n_{k=1} a_k(x) \partial/\partial x_k$. Такие операторы называются дифференцированиями R-алгебры $A=C^{\infty}(U)$, $U\subset R^n$; их определение никак не апеллирует к выбору какой-либо системы координат."

Подскажите пожалуйста где можно прочитать подробное и аккуратное доказательство этого утверждения, понятное студенту 1-2 курса технического вуза? Доказательства для произвольных многообразий мне не понятны. Заранее спасибо.

[g______d]

У этих же парней есть книжка "Гладкие многообразия и наблюдаемые" (автор Джет Неструев, это псевдоним). Там всё подробно расписано. Если Вы знаете, что такое формула Тейлора с остатком в форме Адамара, можете и сами попробовать доказать.

[Non-math]

Спасибо, за ответ Нестужева смотрел. Там Глава 9 Алгебраическое дифференциальное исчисление. Написано очень много и все в основном для многообразий. А простого случая пространства гладких функций на $R^n$ нет.

Не смог с наскока найти Тейлора с остатком в форме Адамара. В википедии только Лагранж и Коши. Почему нужен именно Адамар?

Правильно ли я понял, что нужно в доказательстве подставлять разложения функций f и g в равенство Лейбница, а затем приравнивать коэффициенты ряда при одинаковых степенях? А дальше что делать?

-- 15.03.2013, 23:07 --

Вопрос не связан непосредственно с цитируемой книгой.

Хотелось бы иметь понятное и подробное доказательство (хотя бы для гладких функций одной переменной из $R^1$, то есть в рамках математического анализа 1 курса.) утверждения, что оператор удовлетворяющий свойству линейности $D(af(x)+bg(x))=aD(f(x))+bD(g(x))$ и правилу Лейбница $D(f(x)g(x))=D(f(x))g(x)+f(x)D(g(x))$ представим в виде производной $D=c(x) d/dx$ (a,b - вещественный числа). Если не затруднит, привести такое доказательство здесь на форуме, до буду очень признателен.

[g______d]

Non-math в сообщении #696334 писал(а):

Спасибо, за ответ Нестужева смотрел. Там Глава 9 Алгебраическое дифференциальное исчисление. Написано очень много и все в основном для многообразий. А простого случая пространства гладких функций на $R^n$ нет.

Ну как же, там же целая глава "Гладкие функции в $\mathbb R^n$". Нужны лемма 2.8 и следствие 2.9 --- это про остаток в форме Адамара. Потом пункт 9.10 --- он уже про Ваше утверждение для области в $\mathbb R^n$.

[Non-math]

Спасибо. Не аккуратно посмотрел вашу ссылку.