Заряд конденсатора

[Clayton]

Есть контур с катушкой индуктивности(сама индуктивность $L$ неизввестна),ЭДС $E$ и двумя конденсаторами с емкостями $C_1$ и $C_2$ (конденсаторы соединены последовательно и в начальный момент не заряжены).В начальный момент,конденсатор емкостью $C_2$ закорочен через ключ $K$. В то момент, когда заряд на конденсаторе $C_1$ максимален, размыкают ключ $K$. Необходимо найти максимальный заряд на конденсаторе $C_2$,после замыкания ключа $K$.

Решение:
До замыкания ключа $K$ запишем второй закон Кирхгофа: $\varepsilon = L\frac{d^2q}{dt^2}+ \frac{q}{C}$
$\frac{d^2\left ( q-\varepsilon C \right )}{dt^2}+\frac{1}{CL}\left ( q-\varepsilon C \right )=0$
Тогда заряд на конденсаторе изменяется по закону $q-\varepsilon C=A\cos \left ( \omega t \right )$
Так как при $t=0 , q=0$ ,то $A=-\varepsilon C$, и тогда максимальный заряд на конденсаторе будет $q=2\varepsilon C$,при этом ток в цепи будет равен нулю.
После замыкания суммарный заряд обкладок конденсаторов будет равен $q_2 - q_1 = -2\varepsilon C$ (Заряд на нижней обкладке конденсатора $C_1$ и верхней $C_2$).При этом ток через катушку опять равен нулю
По закону сохранения энергии
$\frac{q_2^2}{2C_2}+\frac{q_1^2}{2C_1}+\varepsilon (q_1-2\varepsilon C)=\frac{4\varepsilon ^2C_1^2}{2C_1}$
Из этой системы получаем,что $q_2=-6\frac{\varepsilon C_1C_2}{C_1+C_2}$,но в ответе должно получиться $q_2=2\frac{\varepsilon C_1C_2}{C_1+C_2}$. Где прокол?

[Omega]

По-моему, в момент, когда будет максимален заряд на $C_{2}$ будет также максимален и заряд на $C_{1}$.
Также, они по идее ещё будут равны. Так как в противном случае в цепи будет присутствовать ток - а он отсутствует. То есть:

$$\dfrac{q_{m}^{2}}{2} \left (\dfrac{1}{C_{1}} + \dfrac{1}{C_{2}}\right) - \dfrac{1}{2C_{1}} (2C_{1}E)^{2}= E (2q_{m}-2C_{1}E)$$

Тогда и получается правильный ответ.
Кстати, попроще максимальный заряд на первом конденсаторе перед размыканием ключа можно найти так:

$$E q_{0} = \dfrac{q_{0}^{2}}{2C_{1}}$$

[Clayton]

Omega в сообщении #695578 писал(а):

Кстати, попроще максимальный заряд на первом конденсаторе перед размыканием ключа можно найти так:

$$E q_{0} = \dfrac{q_{0}^{2}}{2C_{1}}$$

Да,так действительно гораздо проще.

Omega в сообщении #695578 писал(а):

Также, они по идее ещё будут равны. Так как в противном случае в цепи будет присутствовать ток - а он отсутствует. То есть:

Это потому что $I=\frac{dq}{dt}$,и если $q_1\neq q_2$,то $I\neq 0$?

Omega в сообщении #695578 писал(а):

То есть:

$$\dfrac{q_{m}^{2}}{2} \left (\dfrac{1}{C_{1}} + \dfrac{1}{C_{2}}\right) - \dfrac{1}{2C_{1}} (2C_{1}E)^{2}= E (2q_{m}-2C_{1}E)$$

А почему работа равна $E (2q_{m}-2C_{1}E)$, а не $E(2C_1E-2q_m)$?

[Omega]

Я думаю, что да, $I=0$, если $q_{1}=q_{2}$.
По определению именно в такой записи ЗСЭ: $W_{end}-W_{start}=A$ работа - это $A=E(q_{end}-q_{start})$
Простите за опечатку, должно быть так:

$$\dfrac{q_{m}^{2}}{2} \left (\dfrac{1}{C_{1}} + \dfrac{1}{C_{2}}\right) - \dfrac{1}{2C_{1}} (2C_{1}E)^{2}= E (q_{m}-2C_{1}E)$$

Потому что через источник протечёт именно заряд - $q_{m}-2C_{1}E$

[Clayton]

Omega в сообщении #695578 писал(а):

Также, они по идее ещё будут равны.

По моему, они все таки не будут равны,т.к. из закона сохранения заряда следует,что $q_2-q_1=-2C\varepsilon $. Но если $q_2=q_1=q_m$ , то $q_1-q_2=0$.

[Omega]

А разве здесь должен сохраниться заряд,раз система конденсаторов не замкнута ведь есть гальванический элемент?

[Clayton]

Ну так ЭДС же только перегоняет заряды,новым там неоткуда взяться