Среднеквадратичное отклонение

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, помогите разобраться с понятием среднеквадратичное отклонение.
Это понятие определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины.
Википедия

Вопрос состоит в следующем: из каких соображений в качестве отклонения решили взять именно корень квадратный из дисперсии? Ведь определить отклонение возможно многими способами, и весьма логичными. Например, дисперсия разбивается на две части. Одна часть - это сумма квадратов отклонений справа от среднего, вторая часть - это сумма квадратов отклонений слева от среднего. Обе эти части в сумме дают классическую дисперсию. Теперь если взять корень квадратный от каждой части, получим среднеквадратичное отклонение справа от среднего и среднеквадратичное отклонение слева от среднего. Заодно получим некий интевал, в котором сконцентрирована основная масса значений случайной величины.

Пытался найти в интернете обоснование определения отклонения, но везде это понятие вводится без всякого обоснования.

[gris]

Возможно, это связано с тем, что квадратный корень из суммы квадратов разностей координат двух точек равен расстоянию между двумя точками

[ИСН]

Можно взять хоть синус, хоть логарифм чего-нибудь, хоть первую функцию Бесселя. Проблема не в том, что нечего взять, а в том, чтобы получилось попроще. Вы предлагаете две величины. Хорошо. Но хотелось-то одну.

[ewert]

Любая мыслимая оценка среднего отклонения -- это некоторая норма некоторого вектора. Изо всех норм наиболее благоприятными математическими свойствами обладает евклидова (т.е. порождённая скалярным произведением) -- с ней проще всего работать, и она позволяет получить большее количество полезных результатов. Поэтому всегда предпочитают работать с евклидовыми нормами, если только нет каких-то противопоказаний. Вот и корень из дисперсии -- это евклидова норма.

[Побережный Александр]

ИСН в сообщении #695915 писал(а):

Можно взять хоть синус, хоть логарифм чего-нибудь, хоть первую функцию Бесселя. Проблема не в том, что нечего взять, а в том, чтобы получилось попроще. Вы предлагаете две величины. Хорошо. Но хотелось-то одну.

Так ведь все равно приходится оперировать с доверительным интервалом, где всегда будут два конца. )
Не проще ли изначально определять два числа, соответствующих концам интервала?

ewert в сообщении #695919 писал(а):

Любая мыслимая оценка среднего отклонения -- это некоторая норма некоторого вектора. Изо всех норм наиболее благоприятными математическими свойствами обладает евклидова (т.е. порождённая скалярным произведением) -- с ней проще всего работать, и она позволяет получить большее количество полезных результатов. Поэтому всегда предпочитают работать с евклидовыми нормами, если только нет каких-то противопоказаний. Вот и корень из дисперсии -- это евклидова норма.

В предложенной схеме тоже используется евклидова норма, чем подобная схема противоречит общепринятой теории?

[ИСН]

Я вычислил величину с.к.о., записал среднее, потом значок плюс-минус, потом эту величину, закрыл тетрадь и положил на полку. Когда и зачем мне придётся оперировать с доверительным интервалом?
Ваша оценка, если угодно - плоха тем, что у неё разрывная зависимость от начальных данных. Что случится с цифрами, если одно измерение, близкое к среднему, поменялось на чуть-чуть и оказалось с другой стороны?

[Побережный Александр]

ИСН, если значения случайной величины расположены симметрично от среднего, ваши рассуждения оправданы.
А если рассмотреть другую ситуацию? Справа от среднего мало значений и на большем расстоянии, слева много значений, но расположены рядом со средним.
Эту ситуацию неплохо бы описала предложенная мной схема.

[ИСН]

Проблема разрывности остаётся.

[_Ivana]

Насколько не помню, эту ситуацию неплохо описывают многие другие параметры - асимметрия, эксцесс и моменты.

[Евгений Машеров]

0. В практических задачах весьма часто работает "принцип майора Шматова", который, видя курсантов, расстегнувших по случаю жары воротничок, приказывал расстегнуть всем со словами "хоть и безобразно, но однообразно". То есть одна плохая методика измерения лучше двух хороших. А уж удовлетворительная точно лучше двух вообще-то плохих, но иногда оказывающихся самыми лучшими.
1. Преимущество дисперсии, как меры разброса, состоят в её аддитивности. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Для Вашей меры это полезное свойство, очевидно, не выполняется. Правда, оно и для среднеквадратичного не выполняется, но там весьма просто перейти от дисперсии к СКО и обратно. У Вас такого простого перехода не просматривается.
2. Есть и другие меры (среднее абсолютное отклонение, семиинтерквартильное расстояние, размах). Как правило, они применяются в особых случаях. При этом они также симметричны.
3. Выгода от асимметричной меры, каковую Вы изобрели, проявится, если распределение С.В. заведомо асимметрично. Но тогда его бессмысленно характеризовать средним и дисперсией (или СКО), они характеризуют нормальное распределение точно, и о симметричных что-то говорят, а для асимметричных надо минимум три. Однако даже выбрав асимметричное распределение, лучше использовать не квадратическую меру, она оптимальна как раз для нормального случая.
4. Легко убедиться численным экспериментом (ну, или аналитически, но тогда надо знать больше), что полученные так "доверительные интервалы" для симметричного распределения хуже обычных, процент попадания в них будет отличаться от доверительного. В случае асимметричных польза от такого подхода в принципе возможна, но лучше, зная вид распределения, оценивать его параметры, а не только среднее и СКО (2 СКО, как Вы предлагаете).
5. Некоторое применение подобная методика всё же находит, например, в управлении рисками, где иногда предлагают считать дисперсию не по всем отклонениям от среднего, а лишь по убыточным. Легко проверить, что точность оценки дисперсии будет ниже, но выигрыш тут отнюдь не математический, а чисто психологический, пользователь не может понять, отчего отклонения от среднего в сторону прибыли свидетельствуют о риске не менее отклонений в сторону убытка.

[Александрович]

Побережный Александр в сообщении #695904 писал(а):

Вопрос состоит в следующем: из каких соображений в качестве отклонения решили взять именно корень квадратный из дисперсии?

Дисперсия - это второй центральный момент. Корень из неё имеет ту же размерность что и с.в.