Сходимость интегралов.

[never-sleep]

Подскажите, плиз, можно ли было вот так исследовать на сходимость? Правильная ли идея в первом? Во втором застрял в конце, не получается....

Задача: Исследовать интегралы на сходимость.

1) $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{-1}\dfrac{x\cdot e^{x^2}}{\arctg(x)}dx$

Делал так:

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{-1}\dfrac{x\cdot e^{x^2}}{\arctg(x)}dx=\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty}\dfrac{t\cdot e^{t^2}}{\arctg(t)}dt$

$f(t)=\dfrac{t\cdot e^{t^2}}{\arctg(t)}\geqslant 0$

Так как $\dfrac{t\cdot e^{t^2}}{\frac{\pi}{4}}\leqslant \dfrac{t\cdot e^{t^2}}{\arctg(t)}$ на полуинтервале $[1;+\infty)$

То, по признаку сравнения, из расходимости $\displaystyle\int\limits_{1}^{\infty}{t\cdot e^{t^2}}dt$ следует расходимость исходного интеграла $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{-1}\dfrac{x\cdot e^{x^2}}{\arctg(x)}dx$.

2) $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{dx}{(x^2-5x+4}dx$

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{dx}{x^2-5x+4}dx=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{dx}{(x-1)(x-4)}dx=\dfrac{1}{3}\cdot \displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{dx}{x-4}-\dfrac{1}{3}\cdot \displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{dx}{x-1}$

Интеграл $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{dx}{x-4}$ сходится, так он является собственным (определенным).

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{dx}{x-1}=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dx}{x-1}+\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\dfrac{dx}{x-1}$

$\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dx}{x-1}=-\infty$ расходится

$\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\dfrac{dx}{x-1}=+\infty$ расходится

А что будет с суммой интегралов?

[ИСН]

Вы в первой что с арктангенсом сделали? Заменили его константой? Какой и почему?
Во втором нет никакой суммы интегралов, потому что нет самих интегралов. Один из них расходится (другой тоже, но неважно), значит, его нет. Значит, и интеграла по всему отрезку тупо нет.
(Если Вам хочется, чтобы бесконечности как-нибудь сожрали друг друга, то почитайте про "сходимость в смысле главного значения", но это другое.)

[never-sleep]

ИСН в сообщении #695582 писал(а):

Вы в первой что с арктангенсом сделали? Заменили его константой? Какой и почему?
Во втором нет никакой суммы интегралов, потому что нет самих интегралов. Один из них расходится (другой тоже, но неважно), значит, его нет. Значит, и интеграла по всему отрезку тупо нет.
(Если Вам хочется, чтобы бесконечности как-нибудь сожрали друг друга, то почитайте про "сходимость в смысле главного значения", но это другое.)

Спасибо. Исправил.

1) Так как $\dfrac{\pi}{2}\geqslant \arctg(t)$ на $[1;+\infty)$, то:

$\dfrac{t\cdot e^{t^2}}{\frac{\pi}{2}}\leqslant \dfrac{t\cdot e^{t^2}}{\arctg(t)}$

2)

Цитата:

нет самих интегралов

Это как нет, в каком смысле? А что тогда делать?

[ИСН]

Ничего. Приехали. Исследовали. Расходится.

[never-sleep]

ИСН в сообщении #695582 писал(а):

Один из них расходится (другой тоже, но неважно), значит, его нет.

.
Что-то все равно не очень понимаю.

Можно ли было раскладывать на простейшие дробь под этим интегралом? $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{dx}{(x^2-5x+4}dx$.

Если да, то как грамотно обосновать расходимость $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{dx}{x-1}$?

То, что этот сходится -- верно? $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{dx}{x-4}$

[ИСН]

Можно. Так и надо. Верно.

[never-sleep]

Спасибо. А как грамотно обосновать расходимость $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{dx}{x-1}$?

[SpBTimes]

Разбить на интеграл по отрезкам $[0; 1]$ и $[1; 2]$. Так как стремление к единице там происходит независимо, то общего предела нет

[ИСН]

Так и надо, как есть. Только лучше писать не $\int\limits_0^1\dfrac{dx}{x-1}=-\infty$, а $\int\limits_0^{1-\varepsilon}\dfrac{dx}{x-1}\;\underset{\varepsilon\to0}{\longrightarrow}\;-\infty$

[_Ivana]

(Оффтоп)

Я не специалист в интегралах, изучал только Римана давно, да про Дарбу слышал мельком недавно, но мне кажется, что в данном вопросе хорошо бы подойти основательнее, и сказать про Лебега, главное значение по Коши (которое вроде в данном случае имеется) и некоторые другие умные слова и термины...