Интеграл

[main.c]

$\int \frac{dx}{(x^2-1)^2}$, что-то совсем ничего в голову не приходит, пробовал по частям взять, но выражение становится только хуже. Как берутся такие интегралы?

[ИСН]

Так же, как интегралы от любых рациональных функций: раскладываем на простейшие...

[mihailm]

По частям наверно можно, только начинать надо с такого же только без квадрата в знаменателе.

[main.c]

ИСН в сообщении #695404 писал(а):

Так же, как интегралы от любых рациональных функций: раскладываем на простейшие...

Это и так простейшая дробь, разве не так?

[mihailm]

все равно дальше раскладывайте - на элементарные

[nnosipov]

main.c в сообщении #695413 писал(а):

Это и так простейшая дробь, разве не так?

Нет, не так. Есть определение простейшей дроби, посмотрите. Что касается самой задачи, ещё можно применить метод Остроградского.

[Praded]

main.c в сообщении #695400 писал(а):

пробовал по частям взять, но выражение становится только хуже.

В задачнике Кудрявцева (2003 г.) в т. 2, 1 параграфе, пример 17 рассматривается похожее задание. Вы были на верном пути.

[Mitrius_Math]

nnosipov в сообщении #695441 писал(а):

метод Остроградского

Да, рекомендую. Очень полезный метод. Многие проблемы такого рода решает радикально. Можно посмотреть, например, в книге "Основы математического анализа" Ильина и Позняка.

[main.c]

Mitrius_Math в сообщении #695548 писал(а):

nnosipov в сообщении #695441 писал(а):

метод Остроградского

Да, рекомендую. Очень полезный метод. Многие проблемы такого рода решает радикально.

Но этот метод это ведь не универсальный метод взятия таких интегралов, точнее не во всех случаях он является самым оптимальным, тогда возникает вполне резонный вопрос: "Как понять, в каком случае лучше использвать этот метод, а в каком лучше раскладывать на простейшие, приводить к общему знаменателю, а потом искать коэффициенты приравнивая значения при одинаковых степенях?"

[Praded]

main.c в сообщении #695552 писал(а):

Как понять, в каком случае лучше использвать этот метод, а в каком лучше раскладывать на простейшие, приводить к общему знаменателю, а потом искать коэффициенты приравнивая значения при одинаковых степенях?"

Это излишество. По частям всё берётся очень просто. Более того, посмотрев указанный мной источник, вы откроете, что показатель в знаменателе может варьироваться.

[ИСН]

Лучше использовать его тогда, когда он лучше. Чтобы понять, какой метод лучше, необходимо полностью решить задачу одним методом, а потом полностью решить её другим.

[main.c]

ИСН в сообщении #695555 писал(а):

Лучше использовать его тогда, когда он лучше

Гениально, у меня прям нет слов!

Я решил пойти путём сравнения коэффициентов при одинаковых степенях, получилась очень простая система с 4 неизвестными, из котрой получилось, что:
$\frac{1}{(x^2-1)^2} = -\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{4(x-1)^2} + \frac{1}{4(x+1)} + \frac{1}{4(x+1)^2} $

[SpBTimes]

добавить-вычесть $x^2$ в числителе, и по частям