Теория групп, матрицы

[Ilya102]

Доказать, что квадратная матрица порядка $n$, в каждом столбце и в каждой строке которых не более чем один элемент, равный 1, образуют полугруппу.
В этой задаче я все доказал, кроме замкнутости.

$A,B \in G$
$AB=D$ - надо доказать, что $D \in G$

[VAL]

Ilya102 в сообщении #694651 писал(а):

Доказать, что квадратная матрица порядка $n$, в каждом столбце и в каждой строке которых не более чем один элемент, равный 1, образуют полугруппу.
В этой задаче я все доказал, кроме замкнутости.

А что "все"? Ассоциативность? Ее и доказывать особо не надо. Поскольку умножение любых квадратных матриц ассоциативно. Ваши - не исключение.

Цитата:

$A,B \in G$
$AB=D$ - надо доказать, что $D \in G$

И в чем же проблема? Зафиксируйте какую-нибудь строку и умножайте последовательно на все столбцы. Может получится что либо, кроме нуля или единицы? А много ли раз может появиться единица?

[Ilya102]

VAL

Цитата:

А что "все"? Ассоциативность? Ее и доказывать особо не надо. Поскольку умножение любых квадратных матриц ассоциативно. Ваши - не исключение.

Да, именно ассоциативность.

Цитата:

И в чем же проблема? Зафиксируйте какую-нибудь строку и умножайте последовательно на все столбцы. Может получится что либо, кроме нуля или единицы? А много ли раз может появиться единица?

Получается только единица, повторяющаяся в строках и столбцах 1 раз.

[VAL]

Ilya102 в сообщении #694698 писал(а):

VAL

Цитата:

И в чем же проблема? Зафиксируйте какую-нибудь строку и умножайте последовательно на все столбцы. Может получится что либо, кроме нуля или единицы? А много ли раз может появиться единица?

Получается только единица, повторяющаяся в строках и столбцах 1 раз.

Точнее, не более одного раза.
И в чем же проблема с замкнутостью?

[Ilya102]

Цитата:

Точнее, не более одного раза.
И в чем же проблема с замкнутостью?

Проблема скорее в том, как это записать в виде формул

[VAL]

Ilya102 в сообщении #695059 писал(а):

Цитата:

Точнее, не более одного раза.
И в чем же проблема с замкнутостью?

Проблема скорее в том, как это записать в виде формул

Если упереться, можно и в виде формул. Но зачем?
Откройте любую книжку по математике. Или даже журнал.
Разве там все доказательства состоят из голых формул?
Встречаются, конечно, и такие. Но редко. Обычно доказательство разумно сочетает формальное и словесное изложение.
В частности, вполне допустим и исключительно словесный вариант.

[Ilya102]

Цитата:

Если упереться, можно и в виде формул. Но зачем?
Откройте любую книжку по математике. Или даже журнал.
Разве там все доказательства состоят из голых формул?
Встречаются, конечно, и такие. Но редко. Обычно доказательство разумно сочетает формальное и словесное изложение.
В частности, вполне допустим и исключительно словесный вариант.

Постараюсь донести словесно до преподавателя. Спасибо:)

[мат-ламер]

Может я не понял условий? Ведь легко построить пример для матриц второго порядка без единиц, произведение которых является матрицей, у которой все элементы единицы.

[Ilya102]

мат-ламер
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$
$*$
$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix}$
$=$
$D = \begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} & \cdots & d_{1n} \\ d_{21} & d_{22} & \cdots & d_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n1} & d_{n2} & \cdots & d_{nn} \end{pmatrix}$
т.е. $AB=D$

[VAL]

мат-ламер в сообщении #695186 писал(а):

Может я не понял условий? Ведь легко построить пример для матриц второго порядка без единиц, произведение которых является матрицей, у которой все элементы единицы.

А причем здесь это, если изначально мы работаем только с матрицами, у которых в каждой строке и каждом столбце не более одного ненулевого элемента (равного единице)?

-- 14 мар 2013, 01:14 --

Ilya102 в сообщении #695202 писал(а):

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$
$*$
$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix}$
$=$
$D = \begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} & \cdots & d_{1n} \\ d_{21} & d_{22} & \cdots & d_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n1} & d_{n2} & \cdots & d_{nn} \end{pmatrix}$
т.е. $AB=D$

А в этом примере уже я ничего не понял

PS: По-видимому без формул действительно лучше