Функция Римана

[Oxxy]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, доказать непрерывность функции Римана в иррациональных точках или подскажите, где можно найти это доказательство!
Т к предложено в этой статье http://hijos.ru/2012/09/26/funkciya-rimana/
забраковали . А нужно через окрестности

[xmaister]

Ну давайте по определению. Пусть $x$- иррационально и $q_n\to x$- последовательность рациональных к нему сходящихся. Что можно сказать про знаменатели $q_n$, они ограничены сверху или нет?

[gris]

Да сами докажите прямо по определению.
Подсказка: для любого положительного эпсилон количество точек, где функция Римана больше этого эпсилон, конечно на произвольном конечном интервале. Ну это, в общем, тоже несложно доказать. То есть для любого иррационального числа можно подобрать такую окрестность, в которой функция будет не больше... Ну и всё почти.

[Oxxy]

Т е получается Для любого $e>0$ существует $\delta>0$ : для любого $n>N$ $|x-x_0|<\delta$ $\Rightarrow$ $|f(x)-f(x_0)|<e$
И получается, что $1/n<e$ и тогда $|n-x_0|<{1/e}-x_0$

[gris]

Это к чему относится? К доказательству через Гейне? Что за $N$?

[Oxxy]

Нет, по Коши подразумавалось
N - это большой знаменатель для дроби $m/n$ которой сопоставляется значение функции $1/n$.
Только знак не такой, я хотела написать $n<N$

[Oxxy]

Вот, перепроверила, у меня так получилось:
$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ эквивалентно $|{1/N}-0|<\varepsilon$, т е $|N|>1/ \varepsilon$
$|x-x_0|<\delta$ аналогично $|{m/N}-x_0|<\delta$ и получается $n<\lecslant1/\varepsilon$

[gris]

Это у Вас какая-то фантазия на тему пределов.
Давайте так. Докажем вначале непрерывность функции Римана во всех иррациональных точках интервала $(0,1)$. Любое рациональное число на этом интервале однозначно представимо в виде несократимой дроби $\dfrac mn$, где числитель и знаменатель натуральные числа, причём числитель меньше знаменателя. Для каждого значения знаменателя $N$ есть есть ровно $N-1$ натуральное число меньшее его, то есть на нашем интервале не больше $N-1$ рациональных чисел, представленных в виде несократимой дроби со знаменателем $N$, так как некоторые дроби сократимы. В этих точках значение функции равно $\dfrac 1N$. То есть на интервале $(0,1)$ функция принимает значение $1$ ноль раз, значение $\dfrac12$ один раз, значение $\dfrac13$ два раза, значение $\dfrac14$ не более трёх раз, а именно два раза, значение $\dfrac1N$ не более $N-1$ раз. Самое главное, что любое своё положительное значение функция принимает лишь конечное число раз (на интервале $(0,1)$).
Любое иррациональное число можно окружить интервалом, который целиком лежит в $(0,1)$ и в котором функция не принимает значения, большие данного положительного числа.
Это можно распространить и на любой конечный интервал, а можно воспользоваться тем, что у функции Римана есть период, равный $1$.

Вам это было непонятно?

Впрочем, строгое доказательтво в терминах окрестностей и эпсилон-дельта действительно немного нудновато, хотя и просто. По эпсилон определяем $N$, далее из конечного числа точек, в которых <...> выбираем ближайшее к $x_0$, расстоянием определяется и дельта.

[xmaister]

(Оффтоп)

Чета не пойму, а чем доказательство через Гейне не угодило?

[gris]

сказали через окрестности...

[Oxxy]

Очень наглядно, спасибо!
Но я вот какой момент не совсем поняла: N я оценила правильно? Это можно дальше использовать, или все изначально неверно?

[gris]

Можно и использовать. Например: Возьмём $N>1/\varepsilon \Leftrightarrow 1/N <\varepsilon $. В точках, представленных несократимыми дробями $m/n$, где $n> N$, значения функции будут меньше эпсилон $f(m/n)=1/n<1/N< \varepsilon$. Мы уже установили, что остальных рациональных точек, со знаменателем, не большим $N$ только конечное число. Среди конечного числа точек можно выбрать ближайшую к $x_0$. Пусть это будет точка $x_1$. Так как она рациональная, а $x_0$ иррациональная, то $x_0\neq x_1$. Возьмём $\delta=|x_0-x_1|$. Ну и дальше докажем, что в дельта окрестности значения функции меньше эпсилон. Там же нет рациональных точек со знаменателем, меньшим $N$.

Это такой устный ответ. Напишите построже и поформальнее и вот и доказательство.

[Oxxy]

Спасибо! Поняла!
Последняя неясность: чему равна мощность множества $|\{m/n}$ на ${[0;1]: n\leqslant N\}|$ ?

[gris]

Наверное, можно вывести точную формулу, но это не нужно в рамках этой задачи. В этом множестве заведомо меньше $N(N-1)/2$ элементов. Меньше потому, что многие дроби при подсчёте учитываются несколько раз из-зи сокращения. Ну вот для $N=6$ дроби такие:

$\dfrac12\ \dfrac13\ \dfrac23\ \dfrac14\ \dfrac24\ \dfrac34\ \dfrac15\ \dfrac25\ \dfrac35\ \dfrac45\ \dfrac16\ \dfrac26\ \dfrac36\ \dfrac46\ \dfrac56$

Их 15, но дроби $\dfrac24\ \dfrac26\ \dfrac36\ \dfrac46$ лишние. Они сократимы.

[Sonic86]

Oxxy в сообщении #695081 писал(а):

Последняя неясность: чему равна мощность множества $|\{m/n}$ на ${[0;1]: n\leqslant N\}|$ ?

$\sum\limits_{n\leqslant N}\varphi(n)$. ($\varphi(n)$ - функция Эйлера)
Точной простой формулы нет наверное. Асимптотика $\frac{3}{\pi^2}N^2+O(N\ln N)$.