Топология. Компактность

[anton2807]

Пусть задано пространство $M=\{x\sin(\frac{1}{x})}; -1\leq x\leq 1\}$ Компактно ли это пространство? А если добавить точку $(0;0)$?

Вот интересует ответ на вопрос 2. Так как Ясное дело, что пространство $M$ некомпактно, так как точка 0 - предельная.
А как пояснить когда добавим точку $(0;0)$ ко пространству, оно же станет компактным?

Спасибо.

[Chernoknizhnik]

Нетрудно доказать, что непрерывный образ компактного пространства компактен, а также то, что отрезок $[-1,1]$ компактен. Какое значение Ваша функция принимает в нуле?

[anton2807]

в нуле она не существует,

а задание б) состоит в том что мы к пр-ву М добавляем точку (0;0)

-- 13.03.2013, 16:54 --

По идее же кривая становится замкнутым ограниченным подмножеством плоскости после добавления (0;0)

[Chernoknizhnik]

Всё-таки я неверно понял Вас. Напишите-ка, пожалуйста, аккуратно, что из себя $M$ представляет.
Если Вы имели в виду просто график функции $f(x)=\sin(\frac{1}{x})$, заданной на множестве $[-1,1]-\{0\}$, то можно посоветовать рассмотреть последовательность значений $f$ в точках вида, например $\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$

[anton2807]

M=\left\{x\sin\frac{1}{x};\,-1\leqslant x\leqslant 1\right\}

Вот так...

То есть на языке мат анализа это график. где х не может равно 0, следовательно 0 -это точка предельная
а если мы добавляем это точку (0;0) то на мой взгляд уже будет компактно так как кривая становится замкнутым ограниченным подмножеством плоскости

-- 13.03.2013, 17:08 --

Chernoknizhnik в сообщении #695017 писал(а):

Всё-таки я неверно понял Вас. Напишите-ка, пожалуйста, аккуратно, что из себя $M$ представляет.
Если Вы имели в виду просто график функции $f(x)=\sin(\frac{1}{x})$, заданной на множестве $[-1,1]-\{0\}$, то можно посоветовать рассмотреть последовательность значений $f$ в точках вида, например $\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$

Да, разумеется, я понимаю и то что все такие значения(максимумы) лежат на у=х

[Chernoknizhnik]

Дело в том, что Ваше $M$ - это кусок прямой, а добавляете Вы точку плоскости $(0;0)$. На языке мат. анализа, $M$ - это не график, а множество значений некоторой функции. Кроме того, $M$ задано некорректно, т.к. неясно, какое значение предписывается $x\sin(\frac{1}{x})$, когда $x=0$.

-- 13.03.2013, 19:14 --

Вероятно, первоначально функция в нуле не определяется никак, а потом к $M$ добавляется ноль, т.к. после этого $f$ становится непрерывной в нуле (докажете?).