2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение11.03.2013, 00:25 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
1) $$5x^2-14y^2=11z^2$$
2) $$2^a+8b^2-3^c=283$$
3) $$x^n+y^n=2^m$$
(в третьем уравнении положить $m, n>1, \quad x, y\in\mathbb N$)
4) $$y(x+y)=x^3-7x^2+11x-3$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение11.03.2013, 05:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Ktina в сообщении #693914 писал(а):
$$5x^2-14y^2=11z^2$$

Нетривиальных решений нет. Теорема Минковского-Хассе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение11.03.2013, 08:38 


16/03/11
839
No comments
1) Если $z$ нечетное, то решений нет по модулю 4. Если четное, то методом спуска получаем одно решение $(0;0;0)$.

3) Если $x,y$ нечетные, то очевидно $n$ нечетное. Тогда $x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-...+y^{n-1})$ Во-второй скобке нечетное количество нечетных чисел, значит при нечетных $x,y$ решений нет.
При четных пока подумаю.

2) При $a=0$ нет решений. При $c=0$, $2^a+8b^2=284$ Правая часть только на 4 делится, значит а=2. Тогда $b^2=35$, т.е. решений в этом случае тоже нет.
Если $a>1$, то $c=2k$ по мод 4. Тогда $2^a+8b^2-9^k=283$. При $a>2$ нет решений мод 8. При $а=2$ получаем, что $8b^2-9^k=279$. Следовательно $b=9b_1$ Получаем уравнение $8(b_1)^2-9^{k-1}=31$, которое не имеет решений при $k>1$ по модулю 9. При к=1 получаем, что $b_1=2,-2$. Ответ в этом случае такой $(2,18,2), (2,-18,2)$.
Если a=1 Нет решений по модулю 8.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение11.03.2013, 20:19 
Заслуженный участник


20/12/10
6234
Ktina в сообщении #693914 писал(а):
4) $$y(x+y)=x^3-7x^2+11x-3$$
Дискриминант этого уравнения (относительно $y$) раскладывается на множители, и там дальше везёт. А откуда дровишки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение12.03.2013, 03:02 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
xmaister в сообщении #693941 писал(а):
Ktina в сообщении #693914 писал(а):
$$5x^2-14y^2=11z^2$$

Нетривиальных решений нет. Теорема Минковского-Хассе.

Можно по модулю 7 решать, затем метод спуска.

-- 12.03.2013, 03:04 --

DjD USB в сообщении #693964 писал(а):
2) При $a=0$ нет решений. При $c=0$, $2^a+8b^2=284$ Правая часть только на 4 делится, значит а=2. Тогда $b^2=35$, т.е. решений в этом случае тоже нет.
Если $a>1$, то $c=2k$ по мод 4. Тогда $2^a+8b^2-9^k=283$. При $a>2$ нет решений мод 8. При $а=2$ получаем, что $8b^2-9^k=279$. Следовательно $b=9b_1$ Получаем уравнение $8(b_1)^2-9^{k-1}=31$, которое не имеет решений при $k>1$ по модулю 9. При к=1 получаем, что $b_1=2,-2$. Ответ в этом случае такой $(2,18,2), (2,-18,2)$.
Если a=1 Нет решений по модулю 8.

Только не 18, а 6.

-- 12.03.2013, 03:08 --

nnosipov в сообщении #694223 писал(а):
Ktina в сообщении #693914 писал(а):
4) $$y(x+y)=x^3-7x^2+11x-3$$
Дискриминант этого уравнения (относительно $y$) раскладывается на множители, и там дальше везёт. А откуда дровишки?

(Оффтоп)

-- Откуда картошка?
-- Из Кубы, вестимо!
(журнал "Крокодил")

Чешско-Польско-Словацкий матч, 2005г.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение12.03.2013, 09:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #694357 писал(а):
Можно по модулю 7 решать, затем метод спуска.

Это замечательно! Но вопрос о существовании рац. точек квадратичных форм над $\mathbb{Q}$ описывается не самой сложной теоремой. Зачем тогда эти штички со спуском?

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение12.03.2013, 10:41 


16/03/11
839
No comments
Ktina в сообщении #694357 писал(а):
Только не 18, а 6.

Да, там замену неправильную сделал $b=9b_1$.

-- Вт мар 12, 2013 10:41:50 --

Ktina, а как 3-я задача решается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение12.03.2013, 13:00 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
DjD USB в сообщении #694418 писал(а):
Ktina, а как 3-я задача решается?

Я пока решила только первые две, они с региональных этапов Венгерской и Болгарской Олимпиад соответственно.
Последние две потруднее будут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение12.03.2013, 16:59 
Заслуженный участник


03/01/09
1377
москва
3. Серия решений: $x=y=2^k, m=kn+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение12.03.2013, 21:59 


16/03/11
839
No comments
mihiv в сообщении #694556 писал(а):
3. Серия решений: $x=y=2^k, m=kn+1$.

Это и так всем понятно, нужно решение))

-- Вт мар 12, 2013 22:36:32 --

Кажись понял, как решать.
Случай с нечетными х и у я разобрал. Пусть х и у четные, тогда легко понять, что в разложении они должны иметь одинаковое количество двоек, т.е. $ x=2^ka, y=2^kb$, где $a,b$- нечетные числа. Пусть хотя бы одно из них( а или $b$) больше единицы( пусть а). Тогда $2^{nk}(a^n+b^n)=2^m$. При четных $n$ скобка делится только на 2 и она больше 2, значит решений в этом случае нет. При нечетных $n$ разлагаем скобку и получаем в одной из скобок нечетное количество нечетных чисел, т.е. решений в этом случае тоже нет. Значит $a=b=1$. Ответ уже писали выше)
Надеюсь все правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение13.03.2013, 09:26 


16/03/11
839
No comments
Ktina, а третья задача откуда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение13.03.2013, 10:30 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
DjD USB в сообщении #694811 писал(а):
Ktina, а третья задача откуда?

Румынская олимпиада, заключительный этап.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение13.03.2013, 10:33 


16/03/11
839
No comments
Ktina в сообщении #694819 писал(а):
DjD USB в сообщении #694811 писал(а):
Ktina, а третья задача откуда?

Румынская олимпиада, заключительный этап.

Не такая уж и сложная для заключительного этапа. Если ее не давали в 9-м классе конечно :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре симпатичных уравнения в целых числах
Сообщение13.03.2013, 13:00 
Заслуженный участник


20/12/10
6234
К 3-й задаче можно дополнительно посмотреть вот здесь topic47265.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group