Как решить дифференциальное уравнение?

[Omega]

Уважаемы участники форума, помогите пожалуйста разобраться, как решить данное дифференциальное уравнение?

$$a \left (1 - \dfrac{y}{\sqrt{b^{2}+y^2}} \right) = y''$$

Понятия не имею как быть дальше? Может быть умножим и левую и правую части на $\dfrac{dy}{dx}dx$ ?А дальше после интегрирования получим спарава $(y')^{2}$ ?

[ИСН]

Может. Или воспользуемся стандартной заменой для уравнения с отсутствующим x. Итог един.

[Omega]

Пожалуйста, если кто-нибудь может помогите мне с решением этого уравнения, показав мне свои выкладки. Хотя бы краткие.
Можно ли так?

$$ a \int \left (1 - \dfrac{y}{\sqrt{b^{2}+y^2}} \right) dy = \int y'' y' dx \Leftrightarrow a \left (y - \sqrt{b^{2}+y^2} \right) = (y')^{2} + C$$

[SpBTimes]

Ну теперь аккуратно решите уравнение относительно производной, и останется чуть-чуть

[Mitrius_Math]

$y'=p(y), \ y=f(x)$

[Omega]

Далее так:

$$y'=\pm \sqrt{a \left (y - \sqrt{b^{2}+y^2} \right) - C} \Leftrightarrow$$

$$y_{1}: \int \dfrac{dy}{ \sqrt{a \left (y - \sqrt{b^{2}+y^2} \right) - C}}=\int dx $$

$$y_{2}: \int \dfrac{dy}{ \sqrt{a \left (y - \sqrt{b^{2}+y^2} \right) - C}} =-\int dx $$

$$y=y_{1}+y_{2}$$

?