Задачи по выпуклому функц. анализу и не только

[Unconfident]

Такая задачка попалась:
"Мн-во всех точек строго локального экстремума функционала F, действующего из сепарабельного МП в R, не более чем счётно. Доказать."
По ходу пришли мысли, что я не знаю, что такое строго локальный экстремум. -(( Потому что первым делом пришёл в голову контрпример с целым отрезком локальных минимумов (кусочная функция), но такого "не может быть, потому что не может быть никогда"! Может быть, я зря делаю разницу между словами "строго локальный экстремум" и "локальный строгий экстремум", - а это одно и то же?

Также. Вот ещё 2 задачки попались - показались интересными.
1. f - линейная функция на замкнутом выпуклом множестве A. Её sup на A равен 0, но сама она меньше 0 на всём A.
2. f - выпуклая функция, определённая всюду на выпуклом компактном множестве M и ограниченная на нём, но не достигающая своей верхней грани. Привести пример.

Чувствует моё сердце, эти две задачи связаны некоей спиритической связью. Но в чём? Пока что идей хороших не приходит.

[neo66]

Unconfident писал(а):

"Мн-во всех точек строго локального экстремума функционала F, действующего из сепарабельного МП в R, не более чем счётно. Доказать."

Здесь на форуме уже обсуждалась такая задача:
Доказать, что множество строгих локальных максимумов действительной функции счетно.
Может быть это поможет .

[Brukvalub]

Unconfident писал(а):

1. f - линейная функция на замкнутом выпуклом множестве A. Её sup на A равен 0, но сама она меньше 0 на всём A.
2. f - выпуклая функция, определённая всюду на выпуклом компактном множестве M и ограниченная на нём, но не достигающая своей верхней грани.

Думаю, что построение соответствующих примеров связано с использованием аксиомы выбора и похожая тематика обсуждалась на Форуме примерно год назад (помню, что обсуждение инициировал Руст, поэтому поиск имеет смысл начать с просмотра архива его сообщений)

[Unconfident]

neo66 - спасибо, отыскала, действительно на случай сепарабельного пространства переносится прекрасно.

Brukvalub - ага, увидела, попробую поэкспериментировать с Q. ,)

Добавлено спустя 1 час 48 минут 44 секунды:

Скажите, корректно ли такое решение для 2 задачи (про линейный функционал)?

Взять за множество А внутренность гиперболы xy=1, ветви x<0, вместе с границей. А за функцию f(x,y) = x. Тогда f(x,y)->0, но не достигает его.

[Brukvalub]

Думаю, что пример верный, да и оказался он много проще моих фантазий

[neo66]

Unconfident писал(а):

2. f - выпуклая функция, определённая всюду на выпуклом компактном множестве M и ограниченная на нём, но не достигающая своей верхней грани. Привести пример.

Поскольку непрерывная функция на компакте достигает своей верхней грани, то наша экзотическая выпуклая функция разрывна.

Думаю, можно действовать так. Пусть M - замкнутый круг:
$M=${$(x,y): (x+1)^2 + y^2\leq 1$} $f(x,y)=x$ на границе круга, кроме точки $a=(0,0)$, где она равна, скажем, $f(0,0)=-2$. Пусть $b=(x_0,y_0)$ точка на границе нашего круга. Определим $f(x,y)$ на отрезке, [a,b] по линейности. Ясно, что, $f$ определена корректно, ограничена на $M$, и не достигает своей верхней грани, (которая равна $0$). Осталось убедиться в ее выпуклости.