Обратная функция

[devgen]

Let A be the open interval $(-1;1)$ an bijective function f on A by the equation:
$f(x)=\frac {x}{1-x^2}$
Find a formula for inverse f(x) that works for every real x

A. $f(x)=\frac {x}{1+x^2}$
B. $f(x)=\frac {2x}{\sqrt{1+x^2}}$
C. $f(x)=\frac {2x}{1+\sqrt{1+4x^2}}$
D. $f(x)=\frac {-1-\sqrt{1+4x^2}}{2x}$
E. Not uniquely determined by the information given

Рисую $f$, вижу "хорошую" на A часть графика. Хорошую в том плане, что отразив относительно $x=y$, я получу график искомой обратной функции.

Начинаю обращать, получаю $\frac{-1-\sqrt{1+4y^2}}{2y}$ и $\frac{-1+\sqrt{1+4y^2}}{2y}$

Во-первых, я не могу понять, как легко увидеть какую ветвь брать? (Задание из GRE, поэтому должно делаться быстро). Во-вторых, что делать с нулём? Тут можно доопределить по непрерывности, но нет такого варианта ответа и мое "хорошее" графическое наблюдение разве не говорит о том, что должна существовать непрерывная кривая? В-третьих, правильный ответ почему-то C

[nnosipov]

devgen в сообщении #694245 писал(а):

В-третьих, правильный ответ почему-то C

Всё верно, только там всюду нужно писать $f^{-1}(x)=\ldots$, коль скоро выше написано $f(x)=x/(1-x^2)$. Это Вы неаккуратно переписали или так и было в оригинале?

[SpBTimes]

Потому что искать её нужно аккуратно.
$y = \frac{x}{1 - x^2}$
При $y = 0$ у вас $x = 0$. Иначе,
$x^2y + x - y = 0$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4y^2}}{2y}$
$x$ изменяется в интервале $(-1; 1)$, так что берем $x = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4y^2}}{2y}$
Домножив на сопряженное получаем ответ

[mihailm]

выгодно рисовать не кусок графика от -1 до 1, а весь, и отражать весь, тогда полученные выражения (только вместо у надо х поставить) и будут изображать всю картину.
Там и видно что надо брать ту обратную, которая в нуле ноль, т.е. с плюсом,
а чтобы деления на ноль не было - домножить на сопряженное.

[devgen]

nnosipov
Да, это я ошибся, извините.

SpBTimes
Как вы увидели, что нужно брать ветвь с плюсом, не решая неравенства?

[SpBTimes]

$\sqrt{1 + 4y^2} \geqslant 2|y|$
Потому $\frac{-1 - 2|y|}{2y}$ уже выводит нас за границы $(-1; 1)$

[devgen]

SpBTimes
Точно, спасибо!