Четыре симпатичных уравнения в целых числах

[Ktina]

1)

$$5x^2-14y^2=11z^2$$

2)

$$2^a+8b^2-3^c=283$$

3)

$$x^n+y^n=2^m$$

(в третьем уравнении положить $m, n>1, \quad x, y\in\mathbb N$)
4)

$$y(x+y)=x^3-7x^2+11x-3$$

[xmaister]

Ktina в сообщении #693914 писал(а):

$$5x^2-14y^2=11z^2$$

Нетривиальных решений нет. Теорема Минковского-Хассе.

[DjD USB]

1) Если $z$ нечетное, то решений нет по модулю 4. Если четное, то методом спуска получаем одно решение $(0;0;0)$.

3) Если $x,y$ нечетные, то очевидно $n$ нечетное. Тогда $x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-...+y^{n-1})$ Во-второй скобке нечетное количество нечетных чисел, значит при нечетных $x,y$ решений нет.
При четных пока подумаю.

2) При $a=0$ нет решений. При $c=0$, $2^a+8b^2=284$ Правая часть только на 4 делится, значит а=2. Тогда $b^2=35$, т.е. решений в этом случае тоже нет.
Если $a>1$, то $c=2k$ по мод 4. Тогда $2^a+8b^2-9^k=283$. При $a>2$ нет решений мод 8. При $а=2$ получаем, что $8b^2-9^k=279$. Следовательно $b=9b_1$ Получаем уравнение $8(b_1)^2-9^{k-1}=31$, которое не имеет решений при $k>1$ по модулю 9. При к=1 получаем, что $b_1=2,-2$. Ответ в этом случае такой $(2,18,2), (2,-18,2)$.
Если a=1 Нет решений по модулю 8.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #693914 писал(а):

4)

$$y(x+y)=x^3-7x^2+11x-3$$

Дискриминант этого уравнения (относительно $y$) раскладывается на множители, и там дальше везёт. А откуда дровишки?

[Ktina]

xmaister в сообщении #693941 писал(а):

Ktina в сообщении #693914 писал(а):

$$5x^2-14y^2=11z^2$$

Нетривиальных решений нет. Теорема Минковского-Хассе.

Можно по модулю 7 решать, затем метод спуска.

-- 12.03.2013, 03:04 --

DjD USB в сообщении #693964 писал(а):

2) При $a=0$ нет решений. При $c=0$, $2^a+8b^2=284$ Правая часть только на 4 делится, значит а=2. Тогда $b^2=35$, т.е. решений в этом случае тоже нет.
Если $a>1$, то $c=2k$ по мод 4. Тогда $2^a+8b^2-9^k=283$. При $a>2$ нет решений мод 8. При $а=2$ получаем, что $8b^2-9^k=279$. Следовательно $b=9b_1$ Получаем уравнение $8(b_1)^2-9^{k-1}=31$, которое не имеет решений при $k>1$ по модулю 9. При к=1 получаем, что $b_1=2,-2$. Ответ в этом случае такой $(2,18,2), (2,-18,2)$.
Если a=1 Нет решений по модулю 8.

Только не 18, а 6.

-- 12.03.2013, 03:08 --

nnosipov в сообщении #694223 писал(а):

Ktina в сообщении #693914 писал(а):

4)

$$y(x+y)=x^3-7x^2+11x-3$$

Дискриминант этого уравнения (относительно $y$) раскладывается на множители, и там дальше везёт. А откуда дровишки?

(Оффтоп)

-- Откуда картошка?
-- Из Кубы, вестимо!
(журнал "Крокодил")

Чешско-Польско-Словацкий матч, 2005г.

[xmaister]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #694357 писал(а):

Можно по модулю 7 решать, затем метод спуска.

Это замечательно! Но вопрос о существовании рац. точек квадратичных форм над $\mathbb{Q}$ описывается не самой сложной теоремой. Зачем тогда эти штички со спуском?

[DjD USB]

Ktina в сообщении #694357 писал(а):

Только не 18, а 6.

Да, там замену неправильную сделал $b=9b_1$.

-- Вт мар 12, 2013 10:41:50 --

Ktina, а как 3-я задача решается?

[Ktina]

DjD USB в сообщении #694418 писал(а):

Ktina, а как 3-я задача решается?

Я пока решила только первые две, они с региональных этапов Венгерской и Болгарской Олимпиад соответственно.
Последние две потруднее будут.

[mihiv]

3. Серия решений: $x=y=2^k, m=kn+1$.

[DjD USB]

mihiv в сообщении #694556 писал(а):

3. Серия решений: $x=y=2^k, m=kn+1$.

Это и так всем понятно, нужно решение))

-- Вт мар 12, 2013 22:36:32 --

Кажись понял, как решать.
Случай с нечетными х и у я разобрал. Пусть х и у четные, тогда легко понять, что в разложении они должны иметь одинаковое количество двоек, т.е. $ x=2^ka, y=2^kb$, где $a,b$- нечетные числа. Пусть хотя бы одно из них( а или $b$) больше единицы( пусть а). Тогда $2^{nk}(a^n+b^n)=2^m$. При четных $n$ скобка делится только на 2 и она больше 2, значит решений в этом случае нет. При нечетных $n$ разлагаем скобку и получаем в одной из скобок нечетное количество нечетных чисел, т.е. решений в этом случае тоже нет. Значит $a=b=1$. Ответ уже писали выше)
Надеюсь все правильно.

[DjD USB]

Ktina, а третья задача откуда?

[Ktina]

DjD USB в сообщении #694811 писал(а):

Ktina, а третья задача откуда?

Румынская олимпиада, заключительный этап.

[DjD USB]

Ktina в сообщении #694819 писал(а):

DjD USB в сообщении #694811 писал(а):

Ktina, а третья задача откуда?

Румынская олимпиада, заключительный этап.

Не такая уж и сложная для заключительного этапа. Если ее не давали в 9-м классе конечно

[nnosipov]

К 3-й задаче можно дополнительно посмотреть вот здесь topic47265.html