Электростатический потенциал цилиндра

[Omega]

Помогите разобраться:
По определению: "Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность"
То есть :

$$\varphi(r)=\int\limits_{r}^{\infty} \vec{E}dr$$

Тогда, например, для однородного шара внутри:

$$\varphi(r)=\int\limits_{r}^{\infty} \vec{E}dr = \int\limits_{r}^{R} \dfrac{kQr}{R^{3}}dr + \int\limits_{R}^{\infty}\dfrac{kQ}{r^{2}}dr = \dfrac{kQ}{2R} \left (3- \left (\dfrac{r}{R} \right)^{2} \right)$$

Почему, тогда нельзя сделать всё также с цилиндром, не понимаю:

$$\varphi(r)=\int\limits_{r}^{\infty} \vec{E}dr = \int\limits_{r}^{R} \dfrac{2kQr}{R^{2}h}dr + \int\limits_{R}^{\infty}\dfrac{2kQ}{hr}dr = \dfrac{kQ(R^{2}-r^{2})}{R^{2}h} + \dfrac{2kQ \ln{\left ( \dfrac{\infty}{R} \right) }}{h} $$

Ведь это же бред какой-то???
Но если же для цилиндра положить, что $\varphi(r)=-\int\limits_{0}^{r} \vec{E}dr$ - всё получается?

[DimaM]

Проблема в том, что бесконечных заряженных цилиндров не бывает. Поэтому на конечных расстояниях формула работает, а в бесконечности получается ерунда.

[Omega]

Выходит, если одна формула не работает нужно придумать другую? Имею в виду то, каким образом тогда можно от $\varphi(r)=\int\limits_{r}^{\infty} \vec{E}dr$ прийти к $\varphi(r)=-\int\limits_{0}^{r} \vec{E}dr$ ?
Из каких соображений?

[DimaM]

Omega в сообщении #693987 писал(а):

Имею в виду то, каким образом тогда можно от $\varphi(r)=\int\limits_{r}^{\infty} \vec{E}dr$ прийти к $\varphi(r)=-\int\limits_{0}^{r} \vec{E}dr$ ?

Надо задать потенциал в каком-то одно месте. Для ограниченных систем удобно выбрать ноль на бесконечности, но для цилиндра это не работает. Например, можно задать ноль на поверхности или в любой другой точке на конечном расстоянии.
Затем $\varphi(r_1)=\varphi(r_0)-\int\limits_{r_0}^{r_1}{\bf E}\cdot{\bf dr}.$
Поскольку имеет смысл разность потенциалов, ноль можно задавать в произвольном месте (центр или бесконечность - это частные случаи).

[nikvic]

DimaM в сообщении #693988 писал(а):

ноль можно задавать в произвольном месте

Это противоречит исходному определению ТС

[DimaM]

nikvic в сообщении #693994 писал(а):

DimaM в сообщении #693988 писал(а):

ноль можно задавать в произвольном месте

Это противоречит исходному определению ТС

Вроде, ТС и сам дошел, что его определение создает проблемы.

[rustot]

конечной длины цилиндр с постоянной плотностью заряда, хоть объемного хоть поверхностного, не эквипотенциален, так что потенциал не может зависеть только от r. проводящий заряженый цилиндр эквипотенциален, за счет неравномерной плотности заряда, но опять же охватывающий его цилиндр большего размера уже не эквипотенциален и потенциал тоже зависит не только от r

потенциал бесконечного цилиндра с ненулевой плотностью заряда как и например бесконечной плоскости рассчитывать от 0 на бесконечном расстоянии бессмысленно, получится бесконечность. кинетическая энергия отталкиваемого им заряда будет стремиться к бесконечности, а не к конечной величине. за 0 нужно принять что-то другое, поверхность цилиндра например