Чему равно преобразование Фурье?

[ZumbiAzul]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Не подскажите, пожалуйста, чему равно преобразование Фурье от функции вида

$$\frac{1}{x}e^{-x^2}?$$

Распишите, пожалуйста, по-подробнее вывод-доказательство. Судя по таблице - это свертка преобразований Фурье. Но можно еще $\frac{1}{x}e^{i\omega x}$ представить как интеграл от $e^{i\omega x}$, поменять интегралы местами и получить деление на i... Но у меня не получается свести ответы в обоих случаях к единому виду... Не просите меня, пожалуйста, расписать мои выводы, мне бы хотелось, чтобы вы просто посчитали преобразование Фурье как вы сами умеете...

Благодарю!

[Munin]

ZumbiAzul в сообщении #693124 писал(а):

Не просите меня, пожалуйста, расписать мои выводы, мне бы хотелось, чтобы вы просто посчитали преобразование Фурье как вы сами умеете...

У нас как раз принято наоборот. Вы расписываете - мы помогаем.

[ZumbiAzul]

Ну вот, пожалуйста:

1) с помощью обратной теоремы о свертке

$F[\frac{1}{x}e^{-x^2}](\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}F[\frac{1}{x}](\omega)*F[e^{-x^2}](\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}i\sqrt{\frac{\pi}{2}}sign{(\omega)}*\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\omega^2}{4}}=$
$=\frac{i}{2\sqrt{2\pi}}sign{(\omega)}*e^{-\frac{\omega^2}{4}}=\frac{i}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{sign{(\zeta)}e^{-\frac{(\zeta-\omega)^2}{4}}}d\zeta$

2) методом, аналогичным при выводе преобразования Фурье от функции, домноженной на $x$

$F[\frac{1}{x}e^{-x^2}](\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{x}e^{-x^2}e^{i\omega x}dx}=\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}(\int{e^{i\omega x}d\omega})dx}=$
$=\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int{d\omega (\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}e^{i\omega x}dx})}=\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int{d\omega(F[e^{-x^2}](\omega))}=\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int{d\omega(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\omega^2}{4}})}=$
$=\frac{i}{2\sqrt{\pi}}\int{d\omega(e^{-\frac{\omega^2}{4}})}$

[BasilKrzh]

Я, честно говоря, немного поленился проверять, зайдите http://www.wolframalpha.com/input/?i=fo ... ariable2_w, попробуйте довести до такого ответа, у Вас похоже получается. Одно могу сказать, что неопределённый интеграл, по моему небогатому опыту, тут затрудняет размышления, необходимо задумываться ещё о какой-то константе, которой в результате быть не должно. Лучше писать определённый, скажем, от $0$ или $-\omega$ до $\omega$, и дальше за этим пределом следить. Но совершенно необходимо сказать, что Вы так лихо всё делаете и не задумываетесь (если задумываетесь, но никому не говорите -- прошу прощения, но это зря ), что ваша функция не принадлежит классу $L_{2}$ квадратично-интегрируемых функций (в $0$ расходится к фигам). Так что обычного преобразования Фурье вообще не существует, его можно понимать в смысле главного значения от соответствующей обобщённой функции.

[g______d]

BasilKrzh в сообщении #693870 писал(а):

Так что обычного преобразования Фурье вообще не существует, его можно понимать в смысле главного значения от соответствующей обобщённой функции.

Да. В данном случае эта функция даже не принадлежит $L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb R)$, поэтому ее нельзя понимать как регулярную обобщенную функцию без регуляризации. Обычно, действительно, предполагается регуляризация с помощью главного значения, но, вообще говоря, могут быть другие регуляризации. Например, мы можем слегка деформировать контур и взять интеграл по вычетам; точку 0 можно будут обходить сверху или снизу, и ответы будут разными (отличаться на константу). Регуляризация с главным значением --- это полусумма указанных регуляризаций.

[ZumbiAzul]

продолжаю свою цепочку равенств:

1) $=\frac{i}{2\sqrt{2\pi}}(-\int_{-\infty}^{0}{e^{-\frac{(\zeta-\omega)^2}{4}}d\zeta}+\int_{0}^{\infty}{e^{-\frac{(\zeta-\omega)^2}{4}}d\zeta})=$
$=\frac{i}{2\sqrt{2\pi}}(-\int_{\frac{\omega}{2}}^{\infty}{e^{-\frac{(\zeta-\omega)^2}{4}}d(-\frac{\zeta-\omega}{2})}+\int_{-\frac{\omega}{2}}^{\infty}{e^{-\frac{(\zeta-\omega)^2}{4}}d(\frac{\zeta-\omega}{2})})=$
$=\frac{i}{4\sqrt{2}}(-1+erf(\frac{\omega}{2})+1-erf(-\frac{\omega}{2}))=\frac{i}{2\sqrt{2}}erf(\frac{\omega}{2})$

2) $=\frac{i}{2}\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-\frac{\omega^2}{4}}(\frac{\omega}{2}+\frac{2}{3}(\frac{\omega}{2})^3+\frac{4}{15}(\frac{\omega}{2})^5+...)=\frac{i}{2}erf(\frac{\omega}{2})$

Как видно, ответы совпали (ну в точности до постоянного множителя, который мне сейчас не важен). Единственно что, то во втором случае ряд равен функции ошибок только при $\omega<<1$ (см. http://mathworld.wolfram.com/Erf.html)... Т.е. выходит, что ответы не совсем совпали, мне хотелось бы, чтобы было для любого $\omega$. В чем загвостка?

[BasilKrzh]

Такое ощущение, что Вы абсолютно проигнорировали всё, что Вам сказали. Преобразования Фурье в обычном смысле от этой функции НЕТ, поскольку интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{x^2}}{x}e^{i\omega x}dx$ расходится. Самое простое в данном случае (но не единственно возможный вариант) рассмотреть "преобразование Фурье в смысле главного значения (в $0$)" (т.е. соотв. обобщённую функцию), т.е. искать $\operatorname{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{x^2}}{x}e^{i\omega x}dx \equiv \lim\limits_{\delta \to 0} (\int\limits_{-\infty}^{-\delta}\frac{e^{x^2}}{x}e^{i\omega x}dx + \int\limits_{\delta}^{+\infty}\frac{e^{x^2}}{x}e^{i\omega x}dx)$. Тогда $\operatorname{v.p.} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{x^2}}{x}e^{i\omega x}dx = $\operatorname{v.p.} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{x^2}}{x}(\int\limits_{0}^{\omega}e^{i w x}d(i w x) + 1)dx =$ $ i\int\limits_{0}^{\omega}\operatorname{v.p.}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{x^2}e^{i w x}dx dw + $\operatorname{v.p.} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-x^2}}{x}dx$$=\biggl\langle\frac{e^{-x^2}}{x} = - \frac{e^{-(-x)^2}}{-x} \Rightarrow $\operatorname{v.p.} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-x^2}}{x}dx = 0 \biggl \rangle = i\int\limits_{0}^{\omega}F[e^{x^2}]dw$ $ = i\int\limits_{0}^{\omega}e^{(\frac{w}{2})^2}dw$$=2i\int\limits_{0}^{\frac{\omega}{2}}e^{(\frac{w}{2})^2}d(\frac{w}{2})$

[ZumbiAzul]

Правильно ли я понимаю, что v.p. в конце теряет смысл, т.к. функция уже квадратично интегрируемая и v.p. можно не писать?

[ZumbiAzul]

Мне кажется, так выбирать пределы у интеграла нельзя... нижний предел даст расходимость при подстановке (т.к. после взятия интеграла появится множитель 1/x)... а если брать неопределенный интеграл, то получается тот же ответ, что и у меня... но, как я уже писал, ответ верен только вблизи нуля (см. http://mathworld.wolfram.com/Erf.html)... вопрос остается тот же, как получить ответ для любого аргумента, или м.б. какие правильные слова сказать, чтобы полученный ответ стал верен для любого аргумента?

-- Вт мар 12, 2013 16:33:10 --

и еще мне кажется, что тот факт, что функция не является квадратично интегрируемой не страшен, т.к. слева от нуля подынтегральное выражение отрицательно, а справа - положительно и происходит взаимная компенсация указанной особенности нуле...

[BasilKrzh]

Какая ещё расходимость? $\int\limits_{w=0}^{w=\omega}e^{iwx}d(iwx)+1= e^{iwx}\rvert ^{w=\omega}_{w=0}+1 = e^{i\omega x} - 1 + 1 = e^{i\omega x} $
Некоторая некорректность только в объяснении зануления второй части (что в угловых скобках), поскольку на бесконечности интеграл берется не в смысле главного значения. Но, вроде, несложно показать, что это не играет роли.
Факт, что функция не является квадратично интегрируемой страшен, поскольку подобная компенсация происходит только при взятия интеграла в том смысле главного значения, о котором я написал. Только тогда эта область симметрична относительно нуля, в обычном же случае она произвольна. Например, $\frac{1}{x^3}$ не интегрируема в обычном смысле в окрестности $0$ (т.к. неограниченна), но интегрируема в нашем смысле главного значения. Как пояснил g______d, возможны и другие регуляризации и другие значения интеграла. Это получаются разные функции такие.
С вашим неопределенным интегралом - ну неравно $\int e^{i\omega x}d\omega \neq \frac{e^{i\omega x}}{ix}$, слева -- множество, справа -- функция. И переставлять его по всякому не очень-то можно.
A $\operatorname{v.p.}$ теряет смысл только в том смысле (простите за тавтологию), что, как известно, $\operatorname{v.p.}\int\limits_{a}^{b}... = \int\limits_{a}^{b}...$ если правая часть существует

[ZumbiAzul]

BasilKrzh в сообщении #694768 писал(а):

Какая ещё расходимость? $\int\limits_{w=0}^{w=\omega}e^{iwx}d(iwx)+1= e^{iwx}\rvert ^{w=\omega}_{w=0}+1 = e^{i\omega x} - 1 + 1 = e^{i\omega x} $

...

Факт, что функция не является квадратично интегрируемой страшен, поскольку подобная компенсация происходит только при взятия интеграла в том смысле главного значения, о котором я написал. Только тогда эта область симметрична относительно нуля, в обычном же случае она произвольна.

...

С вашим неопределенным интегралом - ну неравно $\int e^{i\omega x}d\omega \neq \frac{e^{i\omega x}}{ix}$, слева -- множество, справа -- функция. И переставлять его по всякому не очень-то можно.

Спасибо, все теперь понятно!

Но все-равно, ответ у Вас получается в точности таким же как и у меня. А именно при последовательных интегрированиях по частям возникает ряд вида $\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-(\frac{\omega}{2})^2}(\frac{\omega}{2}+\frac{2}{3}(\frac{\omega}{2})^3+...) = erf(\frac{\omega}{2}) \text{ при } \omega<<1$ (согласно http://mathworld.wolfram.com/Erf.html). Поэтому мой вопрос по-прежнему остается в силе.

З.Ы. Когда я писал неопределенный интеграл, я мысленно уже положил константу равной нулю, т.о. выделив из множества функций одну единственню.

[ZumbiAzul]

Всем спасибо, особенно BasilKrhz, я нашел ответ на свой вопрос: на той страничке допущена неточность, этот ряд равен функции ошибок для любого значения аргумента.