Операции над векторами в n-мерном векторном пространстве

[Smolenko]

У Куроша, в "Курс высшей алгебры" изд. 9, 1968 г. в парагрфе 8: n-мерное векторное пространство, стр. 62, после введения понятия суммы векторов и умножения вектора на число даны свойства этих операций (8)-(11) и выткающие из них свойства (12)-(15).
Свойство 15: если $k\alpha=0$, то или $k=0$, или $\alpha=0$. Где, по тексту $k$-скаляр, $\alpha$-вектор.
Должен ли я понимать это как то, что нельзя умножать нуль-вектор на скаляр нуль?

[TOTAL]

Smolenko в сообщении #693488 писал(а):

Должен ли я понимать это как то, что нельзя умножать нуль-вектор на скаляр нуль?

Про "можно" и "нельзя" там вообще ничего не говорится.

[gris]

Конечно, там не "исключающее или", хотя конструкция "или $A$, или $B$" часто трактуется как строгая дизъюнкция. Тем не менее, произведение скалярного и векторного нулей определено и равно векторному нулю.

Небольшая поправка. Обычно для "исключающего или" используется выражение "либо..., либо...". Хотя формально употребление тех или иных слов не определено. Знаки — да. $XOR;\;\oplus$.

[Smolenko]

Я так понимаю, что если явно написано: ИЛИ $k=0$, ИЛИ $\alpha=0$, то они не равны нулю одновременно.

[TOTAL]

Smolenko в сообщении #693496 писал(а):

то они не равны нулю одновременно.

Почему они не равны нулю одновременно?

[ewert]

Smolenko в сообщении #693496 писал(а):

Я так понимаю, что если явно написано: ИЛИ $k=0$, ИЛИ $\alpha=0$, то они не равны нулю одновременно.

Формально -- да (в том смысле, что случай одновременного равенства тем самым из рассмотрения исключается). Фактически же это -- лишь небрежность автора, вставившего по рассеянности исключающее ИЛИ вместо обычного.

[Smolenko]

Далее по тексту в первом абзаце следующего параграфа, вводится пропорциональность. В частности сказано, что нуль-вектор пропорционален любому вектору $\alpha$. Должен ли я понимать, что нуль-вектор пропорционален в частности нуль вектору? Далее сделано замечание, что для ненулевых векторов пропорциональность обладает свойством симметричности. Если даны векторы $\alpha$ и $\beta$, то что есть симметричность? Если симметричность это $\alpha=m\beta$, $\beta=n\alpha$, тогда и пропорциональность нуль-векторов обладает сим свойством, даже при любых $m$ и $n$? или симметричность это обязательно $m=n^{-1}$?

-- 10.03.2013, 09:36 --

Я не понимаю, что такое исключающее или, и соответственно чем оно тогда отличается от обычного.

-- 10.03.2013, 09:42 --

То, что нуль-векторы друг другу пропорциональны---разобрался. Об этом явно говорит свойство (14), там же: $k*0=0$. А вот с симметричностью не понятно.

[gris]

Ненулевой вектор, конечно, не пропорционален нулевому. Ведь нулевой на что ни умножай, только нулевой и получишь. То есть для пары нулевой-ненулевой симметричности пропорциональности нет.

[Smolenko]

ewert в сообщении #693509 писал(а):

в том смысле, что случай одновременного равенства тем самым из рассмотрения исключается

По какому праву исключается? Как не имеющий практического значения для осмысления далее изложенного материала? Или как несуществующий случай?
У меня из свойства (8) $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$ и свойства (9) $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$ получается $(k+l)(\alpha+\beta)=k\alpha+l\alpha+k\beta+l\beta$ и очевидно существуют такие $k, l, \alpha, \beta$, не равные нулю, что $k+l=0$ и $\alpha+\beta=0$, но $k\alpha, l\alpha, k\beta, l\beta$ не равны нулю, хотя $k\alpha+l\alpha+k\beta+l\beta=0$. Это меня и смутило в свойстве (15).

-- 10.03.2013, 10:22 --

gris в сообщении #693521 писал(а):

Ненулевой вектор, конечно, не пропорционален нулевому. Ведь нулевой на что ни умножай, только нулевой и получишь. То есть для пары нулевой-ненулевой симметричности пропорциональности нет.

Так в определении пропорциональности не сказано, что коэффициент должен быть какой-то конкретный, он просто должен существовать, пусть и любой, если я верно понял. Я не понял ваш ответ. Нет симметричности? или пропорциональности тоже нет?

-- 10.03.2013, 10:23 --

Smolenko в сообщении #693511 писал(а):

То, что нуль-векторы друг другу пропорциональны---разобрался. Об этом явно говорит свойство (14), там же: $0=k*0$ . А вот с симметричностью не понятно.

-- 10.03.2013, 10:31 --

gris, Вопрос стоит для симметричности пары нулевой-нулевой. Для пары нулевой-ненулевой понятно.

-- 10.03.2013, 10:39 --

То, что нулевой нулевому пропорционален я понял. А вот обязательно ли симметричность это $m=n^{-1}$? Или симметричность -- это просто $\alpha$ пропорционально $\beta$ и наоборот, и тогда для нулевых $\alpha$ и $\beta$, $m$ и $n$ любые?

-- 10.03.2013, 10:47 --

TOTAL
да потому, что или..., или...

-- 10.03.2013, 10:50 --

ewert,
если это небрежность, хотя на Куроша не похоже, до этого места все было строго, то объясните мне пожалуйста разницу между исключающим и обычным ИЛИ.

[TOTAL]

Smolenko в сообщении #693534 писал(а):

да потому, что или..., или...

Одна иля не исключает другую илю.

[Smolenko]

TOTAL в сообщении #693547 писал(а):

Smolenko в сообщении #693534 писал(а):

да потому, что или..., или...

Одна иля не исключает другую илю.

Меня взволновала третья иля. О ней и спрашивал.

-- 10.03.2013, 11:12 --

С пропорциональностью разобрался. Всем спасибо.

[AV_77]

Smolenko в сообщении #693496 писал(а):

Я так понимаю, что если явно написано: ИЛИ $k=0$, ИЛИ $\alpha=0$, то они не равны нулю одновременно.

"Сходи купи хлеба или в булочную, или в супермаркет." Сходил в булочную (она ближе) - хлеба нет. Иду домой. Ведь сказали сходить ИЛИ в булочную, ИЛИ в супермаркет, но никак не в оба места (при необходимости).

[Smolenko]

Или..., или... сочту за небрежность автора, т. к. стало очевидно, ввиду вышеизложенного следствия из свойств (8) и (9), что нуль вектор можно умножать на нуль.
А пропорциональность двух нуль векторов буду считать симметричной (в смысле взаимной), как следствие существования всегда, коэффициентов пропорциональности, пусть и неопределенных.
Всем спасибо.

-- 10.03.2013, 11:30 --

AV_77 в сообщении #693559 писал(а):

Smolenko в сообщении #693496 писал(а):

Я так понимаю, что если явно написано: ИЛИ $k=0$, ИЛИ $\alpha=0$, то они не равны нулю одновременно.

"Сходи купи хлеба или в булочную, или в супермаркет." Сходил в булочную (она ближе) - хлеба нет. Иду домой. Ведь сказали сходить ИЛИ в булочную, ИЛИ в супермаркет, но никак не в оба места (при необходимости).

Понял. Существует, но исключается из рассмотрения за ненадобностью.Хотя Ваш пример не совсем удачен. Ваш скорее говорит: "хотя бы $k$ или $\alpha$ равны нулю, именно это скорее всего и подразумевал автор. Поправьте пожалуйста, если не так.