Гладкая задача с неравенствами

[DeadChild]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей:
$x^2+2xy+3y^2+x+y\to extr$,
$x^2+y^2\leqslant 1$,
$x-y\leqslant 1$.
Пользуясь учебником В.М. Алексеева, Э.М. Галеева, В.М. Тихомирова "Сборник задач по оптимизации" я
1) составляю функцию Лагранжа:
$L=\lambda_{0}(x^2+2xy+3y^2+x+y)+\lambda_{1}(x^2+y^2-1) +\lambda_{2}(x-y-1)$
2) выписываю необходимые условия
а) стационарности
$L_{x}=0 \Leftrightarrow 2\lambda_{0}x+2\lambda_{0}y+\lambda_{0}+2\lambda_{1}x+\lambda_{2}$
$L_{y}=0 \Leftrightarrow 2\lambda_{0}x+6\lambda_{0}y+\lambda_{0}+2\lambda_{1}y-\lambda_{2}$
б) дополняющей нежесткости
$\lambda_{1}(x^2+y^2-1)=0$
$\lambda_{2}(x-y-1)=0$
в) неотрицательности
$\lambda_{0}\geqslant 0$, $\lambda_{1}\geqslant 0$, $\lambda_{2}\geqslant 0$.
Далее нужно найти критические точки, т.е. допустимые точки, удовлетворяющие необходимым условиям п.2 с множителями Лагранжа, одновременно не равными нулю.
Если $\lambda_{0}=0 \Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=0$ - все множители Лагранжа - нули. Положим $\lambda_{0}=1$. Предположим $\lambda_{1}\neq 0 \Rightarrow x^2+y^2-1=0$. По примеру из учебника выражая $x$ и $y$ из условия а) через $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ и подставляя их  в уравнения $x^2+y^2-1=0$, $x-y-1=0$, получим $\lambda_{1}$. НО выразить $x$ и $y$ через одни только $\lambda$ невозможно! Что я делаю неправильно? Есть ли ошибки в необходимых условиях? И можно ли решить это каким-то другим методом?

[мат-ламер]

Задачу надо рассмотреть отдельно для четырёх случаев, в зависимости от того, обращаются ли ограничения (каждое по-отдельности) в равенство или нет (и, соответветственно, обращается ли в нуль $\lambda_i$).

[Nacuott]

DeadChild, вот геометрическая иллюстрация вашей задачи.

[DeadChild]

мат-ламер в сообщении #691916 писал(а):

Задачу надо рассмотреть отдельно для четырёх случаев, в зависимости от того, обращаются ли ограничения (каждое по-отдельности) в равенство или нет (и, соответветственно, обращается ли в нуль $\lambda_i$).

Преподаватель говорил надо решать градиентным методом. При этом чертил график на плоскости! Из него видно точки экстремума.

[мат-ламер]

DeadChild в сообщении #693191 писал(а):

Преподаватель говорил надо решать градиентным методом. При этом чертил график на плоскости! Из него видно точки экстремума.

Это он оговорился. Он имел в виду графический метод.

[DeadChild]

мат-ламер в сообщении #693215 писал(а):

Это он оговорился. Он имел в виду графический метод.

Но он искал градиент... $\operatorname{grad} f = \binom{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$

-- 09.03.2013, 19:33 --

Еще был использован критерий Сельвестра. В моем случае это можно как-то использовать?

[мат-ламер]

DeadChild в сообщении #693227 писал(а):

Еще был использован критерий Сельвестра. В моем случае это можно как-то использовать?

Можете показать, что задача относится к классу задач выпуклого программирования. Это если ищется минимум. А если максимум - то это вряд-ли Вам поможет.

[DeadChild]

мат-ламер в сообщении #693240 писал(а):

Можете показать, что задача относится к классу задач выпуклого программирования. Это если ищется минимум. А если максимум - то это вряд-ли Вам поможет.

Как показать?

мат-ламер в сообщении #691916 писал(а):

Задачу надо рассмотреть отдельно для четырёх случаев, в зависимости от того, обращаются ли ограничения (каждое по-отдельности) в равенство или нет (и, соответветственно, обращается ли в нуль ).

Что именно нужно делать, я не понимаю.

[мат-ламер]

DeadChild в сообщении #693254 писал(а):

Что именно нужно делать, я не понимаю.

Вы там рассматривали необходимые условия. Рассмотрите их отдельно для каждого из четырёх случаев. Или, как альтернатива, рассматривая каждый случай, строгие неравенства игнорируйте, а для остальных решайте задачу с ограничениями в виде равенств.

DeadChild в сообщении #693254 писал(а):

Как показать?

А зачем Вам это? Я не говорю, что это не нужно. Но Вы понимаете для чего это? Если нет, то читайте учебник. Мне его переписывать сюда лень.