Как оценить погрешность? (тервер+матан)

[Ktina]

840 деталей разложены в 28 рядов по 30 деталей в каждом.
В каждом из рядов ровно две детали бракованные.
Робот выбирает наудачу ровно одну деталь из каждого ряда.
Какова вероятность того, что ни одна из выбранных роботом деталей не окажется бракованной?
Ответ округлить до целого числа процентов.

Я стала через $e$ решать:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n}\right)^{-n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n}+\frac{2}{n}\right)^{-n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{-n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}}\right)^{-2}=$$

$$=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$$

Таким образом, получается 14 процентов (если округлить).

А как теперь погрешность оценить?

[Ktina]

Я имела в виду, что если бы у нас было очень много рядов, в каждом из которых было бы деталей на две больше, чем количество рядов, то искомая вероятность стремилась бы к $\frac{1}{e^2}$, то есть, приблизительно к 14 процентам. Но у нас конкретное число рядов, 28. Как оценить, насколько наша вероятность больше "идеальной"?

[Евгений Машеров]

Ну, я бы решал просто.
Если из 30 деталей 2 бракованые, и мы случайным образом выбираем одну, то вероятность, что она будет годной $\frac {28} {30}=0.93333333333333333333333333333333$
А что все - ${\frac {28} {30}}^{30}=0.1262127701004855974807897876567$

[Ktina]

Евгений Машеров,
А почему в степени 30, а не в степени 28?

[cool.phenon]

По сути, стохастический эксперимент состоит в 28 выниманиях детали с результатами "брак" или "не брак". То есть, имеем дело с последовательностью испытаний Бернулли. Тогда искомое число ${P}_{28}(0)=C_{28}^{0}{{p}_{0}}^{28}\left({1-{p}_{0}}\right)^{0}$, где ${p}_{0}$- вероятность того,что при вынимании не попадём на брак. А чтобы оценить, нужно, как по мне, посчитать это число и сравнить с Вашим результатом.

[vlad_light]

(Оффтоп)

Цитата:

А почему в степени 30, а не в степени 28?

Опечатка

[Ktina]

vlad_light,
Да нет, там результат другой.

[Евгений Машеров]

Сорри, действительно спутал. Конечно же, в 28-й.

-- 07 мар 2013, 06:27 --

${\frac {28} {30}}^{28}=0.14488710853372071139376378685081
Поторопился ответить, и допустил невнимательность.

[gris]

Да опять же дело не в этом. Ну как врукопашную возводить число в 28 степень?
А уж степени $e$ мы все помним наизусть. По крайней мере плюс-минус вторую, корень, ипитую. Вот осторожная Ktina и интересуется, можно ли в известном пределе по $N$ определить $\varepsilon$. Я, конечно, не специалист в разгадывании девичьих мыслей, если ошибся, то прошу прощения, но еу сунт шокатэ!

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Ну хорошо. Адская машина "микрокуркулятор" нам недоступна. И таблицы логарифмов на самокрутки пущены. И логарифмическая линейка обсуждается исключительно археологами, причём солидные профессора говорят "Неизвестный предмет религиозного назначения", а наглые аспиранты по секрету рассказывают трепещущим первокурсницам, что это древний фаллоимитатор с регулировкой.
Только подсчёты в уме, только хардкор!

Посчитаем $(1+\frac 1 k)^n$, $k \gg 1$ $n \gg 1$ $\frac k n \approx 1$
$(1+\frac 1 k)^n=e^{n\ln(1+\frac 1 k)}$
Для логарифма у нас есть разложение в ряд $\ln(1+x)=x- \frac {x^2} 2 +\frac {x^3} 3 +...$
Для экспоненты $e^x=1+\frac {x} {1!} + \frac {x^2} {2!}+\frac {x^3} {3!}+...2$
Можно ограничится первым членом в разложении логарифма, поскольку k=15, и второй член порядка 0.002 или 3% от первого, но не будем.
Итого у нас логарифм -0.068987654320987654320987654320988. Умножим его на 28, получим -1.9316543209876543209876543209877, что даёт после экспоненты 0.14490827528226381465614556774827. Ой, у нас таблиц нет?
Ну, во-первых, это почти -2, и мы сразу видим, насколько ошиблись. На $2-1.9316543209876543209876543209877= 0.068345679012345679012345679013 $или примерно на 7%. Насколько точно? Надо е возвести в эту степень. Ограничиваясь разложением до третьей степени, получаем, что погрешность 1.0707344535450645822709701860922 раза.

[gris]

Ktina, как обычно смело перевернула всё с ног на голову и сделала это конгениально. Разумеется, не так важна абсолютная ошибка в данном конкретном случае. Хотя она чуть меньше одной сотой.

Важно, что впервые в практике приближённых вычислений не точное значение предела приближалось частным значением последовательности, а наоборот — частное значение приближается предельным.

Вперёд, Ktina! Ведь если не она, то кто же? Я — за ней!

Евгений Машеров, конечно, сразу увидел в последней строчке страстное поздравление означенной особы с Праздником Весны.

[Евгений Машеров]

А всякие там асимптотические разложения это не в этом роде работы?