банахово пространство

[Oleg Zubelevich]

придумать банахово пространство $E$ такое, что

1) $E\subseteq C^1(\mathbb{R})$
2) $\dim E=\infty$
3) $\frac{d}{dx}:E\to E$ -- компактный оператор

[hippie]

Замыкание (в $C^1(\mathbb{R})$) линейной оболочки множества $\{e^{\frac {it}{2^n}}:\ n\in \mathbb{N}\}.$ (Строго не проверял, но вроде бы подходит.)

[Oleg Zubelevich]

что-то мне не верится, что бы оператор дифференцирования был компактен в топологии индуцированой из $C^1$

[Sinus]

Кажется, формально условиям задачи удовлетворяет гильбертово пространство, полученное с помощью замыкания множества всех многочленов относительно нормы, заданной равенствами

$||x^k|| _E ^2 = a_k$, $ (x^k, x^m) _E = 0 $ при $k \neq m$,

где $\{ a_n \}$ - достаточно быстро растущая последовательность (например, $(n!)^2$ )

[Oleg Zubelevich]

можно так

$E$ состоит из функций ида $u(x)=\sum u_ke^{ix/k},\quad \|u\|=\sum |u_k|$

[hippie]

hippie в сообщении #691535 писал(а):

Замыкание (в $C^1(\mathbb{R})$) линейной оболочки множества $\{e^{\frac {it}{2^n}}:\ n\in \mathbb{N}\}.$ (Строго не проверял, но вроде бы подходит.)

Oleg Zubelevich в сообщении #691537 писал(а):

что-то мне не верится, чтобы оператор дифференцирования был компактен в топологии индуцированой из $C^1$

Зря не верится !

Если функция лежит в данном пространстве и её норма в $C^1$ не превосходит 1, то её производная раскладывается в ряд
$f'(t)=\frac {c_1}{2^1}e^{\frac {it}{2^1}}+\frac {c_2}{2^2}e^{\frac {it}{2^2}}+\frac {c_3}{2^3}e^{\frac {it}{2^3}}+\frac {c_4}{2^4}e^{\frac {it}{2^4}}+\dots,$
где все $|c_k|\le 6.$
А множество всех сумм таких рядов предкомпактно в $C^1$ (по критерию Хаусдорфа).

[Oleg Zubelevich]

hippie в сообщении #699125 писал(а):

Если функция лежит в данном пространстве и её норма в $C^1$ не превосходит 1, то её производная раскладывается в ряд

почему раскладывается в ряд?

[hippie]

Есть такая известная лемма:

(см, например, А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа»).

В данном случае $y$ — функция из замыкания линейной оболочки системы $\{e^{\frac{it}{2^k}}:\ k\in \mathbb{N} \},$ не превосходящая по норме единицы, а $y_k(t) = a_{k1}e^{\frac {it}{2^1}} + a_{k2}e^{\frac {it}{2^2}} + a_{k3}e^{\frac {it}{2^3}} + \dots + a_{km_k}e^{\frac {it}{2^{m_k}}}.$ При этом все $a_{kn}\le ||y_k ||_{C^1}\le \frac 3{2^k}.$ Следовательно
$|y_k’(t)|=|\frac{a_{k1}}{2^1} e^{\frac {it}{2^1}}+ \frac{a_{k2}}{2^2} e^{\frac {it}{2^2}}+ \frac{a_{k3}}{2^3}e^{\frac {it}{2^3}}+\dots+ \frac{a_{km_k}}{2^{m_k}}e^{\frac {it}{2^{m_k}}}|\le |\frac{a_{k1}}{2^1} e^{\frac {it}{2^1}}| + |\frac{a_{k2}}{2^2} e^{\frac {it}{2^2}}| + |\frac{a_{k3}}{2^3}e^{\frac {it}{2^3}}| + \dots + |\frac{a_{km_k}}{2^{m_k}}e^{\frac {it}{2^{m_k}}}| \le |\frac 3{2^{k+1}}| +|\frac 3{2^{k+2}}| +|\frac 3{2^{k+3}}| + \dots +|\frac 3{2^{k+m_k}}| < |\frac 3{2^k}|.$
Таким образом ряд $y_1’(t)+y_2’(t)+y_3’(t)+\dots$ равномерно сходится, и, следовательно,
$y’(t)= y_1’(t)+y_2’(t)+y_3’(t)+\dots = \frac{a_{11}}{2^1} e^{\frac {it}{2^1}}+ \frac{a_{12}}{2^2} e^{\frac {it}{2^2}}+ \frac{a_{13}}{2^3}e^{\frac {it}{2^3}}+\dots+ \frac{a_{1m_1}}{2^{m_1}}e^{\frac {it}{2^{m_1}}} + \frac{a_{21}}{2^1} e^{\frac {it}{2^1}}+ \frac{a_{22}}{2^2} e^{\frac {it}{2^2}}+ \frac{a_{23}}{2^3}e^{\frac {it}{2^3}}+\dots+ \frac{a_{2m_2}}{2^{m_2}}e^{\frac {it}{2^{m_2}}} + \frac{a_{31}}{2^1} e^{\frac {it}{2^1}}+ \frac{a_{32}}{2^2} e^{\frac {it}{2^2}}+ \frac{a_{33}}{2^3}e^{\frac {it}{2^3}}+\dots+ \frac{a_{3m_3}}{2^{m_3}}e^{\frac {it}{2^{m_3}}} + \dots + \frac{a_{k1}}{2^1} e^{\frac {it}{2^1}}+ \frac{a_{k2}}{2^2} e^{\frac {it}{2^2}}+ \frac{a_{k3}}{2^3}e^{\frac {it}{2^3}}+\dots+ \frac{a_{km_k}}{2^{m_k}}e^{\frac {it}{2^{m_k}}} + \dots\ .$
Последний ряд сходится абсолютно равномерно, поэтому его слагаемые можно переставлять в произвольном порядке. Группируя слагаемые с одинаковым показателем степени получаем упомянутый ряд.

[Oleg Zubelevich]

понятно, и даже единственность разложения имеется. здорово