Проверить справедливость равенства

[Denis Russkih]

Вроде простейшая задачка из Сканави, но что-то я туплю. Вот моя попытка решения.

Нужно проверить справедливость равенства:

\eqno(1)\hspace{10pt} $\dfrac{25\sqrt[4]{2} + 2\sqrt{5}}{\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8}} - \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{5} + \dfrac{5}{\sqrt{2}} + 2} = -1$

Обозначим буквами отдельные части выражения:

\eqno(2)\hspace{10pt} $\dfrac{A}{B} - C = -1$

Что равносильно:

\eqno(3)\hspace{10pt} $\dfrac{A - B \cdot C}{B} = -1$

Преобразуем отдельные части:

\eqno(4)\hspace{10pt} $A = 25\sqrt[4]{2} + 2\sqrt{5} = 23\sqrt[4]{2} + 2(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})$;

\parindent=0cm \eqno(5)\hspace{10pt} $B = \sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8} = 5\sqrt{2}\sqrt{5} + 5\sqrt[4]{2^2}\sqrt[4]{2} = 5\sqrt{2}\sqrt{5} + 5\sqrt{2}\sqrt[4]{2} = \\ \\ = 5\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})$;

\parindent=0cm \eqno(6)\hspace{10pt} $C = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{5} + \dfrac{5}{\sqrt{2}} + 2} = \sqrt{\dfrac{2+25 + 10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}} = \sqrt{\dfrac{27 + 10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}} = \sqrt{\dfrac{27\sqrt{2} + 20}{10}} = \\ \\ = \dfrac{\sqrt{10}(27\sqrt{2} + 20)}{10}$;

\parindent=0cm \eqno(7)\hspace{10pt} $B \cdot C = \dfrac{5\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2}) \cdot \sqrt{10}(27\sqrt{2} + 20)}{10} = \dfrac{5\sqrt{20}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(27\sqrt{2} + 20)}{10} = \\ \\ = \dfrac{10\sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(27\sqrt{2} + 20)}{10} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(27\sqrt{2} + 20);$

\parindent=0cm \eqno(8)\hspace{10pt} $A-B \cdot C = 23\sqrt[4]{2} + 2(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2}) - \sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(27\sqrt{2} + 20) = \\ \\ = 23\sqrt[4]{2} + (\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(2 - \sqrt{5}(27\sqrt{2} + 20)) = \\ \\ = 23\sqrt[4]{2} + (\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(2 - 27\sqrt{10} + 20\sqrt{5});$

\parindent=0cm \eqno(9)\hspace{10pt} $\dfrac{A-B \cdot C}{B} = \dfrac{23\sqrt[4]{2} + (\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(2 - 27\sqrt{10} + 20\sqrt{5})}{5\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})};$

На этом дело стопорится. Никак не понимаю, как из подобной штуки может получиться $(-1)$, и может ли получиться вообще. :) Выражение $(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})$ там явно неспроста, и в числителе, и в знаменателе. Но что с ним можно сделать — ума не приложу.

Одно из двух: либо я где-то ошибся (и почему-то никак не могу отловить ошибку), либо тут нужен какой-то хитрый фокус, которого я не знаю... (Как самый последний вариант — возможно, составители задачника что-то напутали. :))

Поскольку я всё это решаю чисто для себя, и никто от меня решения не требует, то я мог бы просто забить на непонятки и идти дальше. Но очень не хочется оставлять эту задачу, так и не разобравшись, в чём дело. Помогите, пожалуйста!

P.S. Задача из задачника переписана верно, я несколько раз проверил. Свою попытку решения тоже сейчас заново проверил, ошибок не нахожу.

[nnosipov]

В (6) в самом конце потерялся один корень.

[ewert]

Denis Russkih в сообщении #691406 писал(а):

\parindent=0cm \eqno(6)\hspace{10pt} $C = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{5} + \dfrac{5}{\sqrt{2}} + 2} = \sqrt{\dfrac{2+25 + 10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}} = \sqrt{\dfrac{27 + 10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}} = \sqrt{\dfrac{27\sqrt{2} + 20}{10}} = \\ \\ = \dfrac{\sqrt{10}(27\sqrt{2} + 20)}{10}$;

Последнее-то откуда?... Зато в самом начале этой цепочки оказался незамеченным очевидный полный квадрат в числителе.

Ну а после извлечения большого корня можно уже тупо приводить его и исходную первую дробь к общему знаменателю -- четыре слагаемых из шести вверху должны сократиться.

Да, техническая деталь: при последнем приведении к общему знаменателю выгоднее каждое решительно слагаемое переписать в виде $2^{{}^{...}}\cdot5^{{}^{...}}$, так меньше шансов ошибиться.

[Sinoid]

У вас уже $C$ посчитано неверно. Нужно так: $C=\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{5}{\sqrt{2}}+2}=\sqrt{\frac{2+10\sqrt{2}+25}{5\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}+5}{\sqrt[4]{50}}$

[gris]

Вообще там явно проступают кубы пятёрки и двойки.
Иногда, чтобы не запутаться, полезно обозначить меньшие степени ингридиентов буквами. Например, $\sqrt 5 =a; \sqrt [4] 2 =b$.
Вся конструкция примет вид

$$\dfrac {a^4b+ab^4}{a^3b^2+a^2b^3}-\sqrt{\dfrac {b^2}{a^2}+\dfrac {a^2}{b^2}+2}$$

что проще чисто алгебраически упростить, особенно увидев под корнем формулу.

Кстати, добрейший Сканави мог бы употребить и числа побольше

[Denis Russkih]

Ну я и лопух! Огромное спасибо всем! :) Я, оказывается, допустил сразу два промаха: в одном месте потерял корень, а в другом — проглядел полный квадрат суммы. И после этого ещё удивляюсь, почему у меня ничего не сходится.

Вечная моя проблема, когда я берусь за математику: смотрю и в упор не замечаю очевидные вещи, как будто какой-то морок окутывает разум. Ведь несколько раз всё дотошно проверил, не на страх, а на совесть! Потом решил отложить до утра, утром прочёл ещё раз свежим взглядом. И всё равно, не помогло. Не видел ошибок, пока меня в них не ткнули носом.

Спасибо за комментарии и советы, постараюсь взять на вооружение. :) Хотя, похоже, я безнадёжен в математическом плане.

[Denis Russkih]

Ура!!! Я всё-таки одолел эту задачку! :) Должен признаться, даже после всех подсказок я умудрился ещё пару раз завернуть не туда, и долго бесцельно плутал, по-разному группируя, складывая, перемножая, раскрывая скобки и вновь вынося за них общие множители, возвращаясь назад и перепроверяя решение, чувствуя нарастающее отчаяние... Это напоминало кошмарный сон... Задача прямо-таки заколдованная какая-то была. :) Но всё же я домучил решение! Что не под силу мозгу, с тем справится каменный зад!

Вот оно:

\parindent=0cm $C = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{5} + \dfrac{5}{\sqrt{2}} + 2} = \dfrac{\sqrt{(5+\sqrt{2})^2}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2}} = \dfrac{5+\sqrt{2}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2}}$;

\parindent=0cm $\dfrac{A}{B} - C = \dfrac{25\sqrt[4]{2} + 2\sqrt{5}}{\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8}} - \dfrac{5+\sqrt{2}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2}} = \dfrac{(25\sqrt[4]{2} + 2\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} - (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})(5+\sqrt{2})}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \\ \\ = \dfrac{25\sqrt{10} + 10\sqrt[4]{2} - 5\sqrt{250} - 25\sqrt[4]{8} - \sqrt{500} - 10\sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \\ \\ = \dfrac{25\sqrt{10} + 10\sqrt[4]{2} - 25\sqrt{10} - 25 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} - 10\sqrt{5} - 10\sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \\ \\ = \dfrac{- 25 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} - 10\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \dfrac{-\sqrt{5} \cdot (5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} - 10)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \dfrac{-\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} - 5\sqrt[4]{2^3})}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \\ \\ = \dfrac{-\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = -1$

Ч.т.д.

Я сделал это!!! Спасибо всем! :)