Векторное пространство

[xmaister]

Помогите найти пример векторного пространства для которого существует линейное преобразование с тривиальным ядром не являющееся автоморфизмом. Т.е. понятно, что надо искать среди бесконечномерных. Вот например многочлены над полем $k$. Всякое линейное преобразование $\varphi: k[x]\to k[x]$ индуцирует изоморфизм полей $k[x]/(f)\cong k[x]/(\varphi(f))$ если $f$- неприводим, откуда ясно, что $\varphi$ сохраняет степень $x\mapsto ax+b$, значит $\varphi$- автоморфизм.

[ewert]

xmaister в сообщении #691078 писал(а):

откуда ясно, что $\varphi$ сохраняет степень

Это как это сохраняет: а, допустим, оператор умножения на просто $x$?...

[xmaister]

ewert
Понял, спасибо.

xmaister в сообщении #691078 писал(а):

Всякое линейное преобразование $\varphi: k[x]\to k[x]$ индуцирует изоморфизм полей $k[x]/(f)\cong k[x]/(\varphi(f))$

Это неверно, т.к. здесь требуется сюръективность.

-- 04.03.2013, 17:22 --

Получается, что если $E/k$- алгебраическое расширение и $\varphi :E\to E$- вложение такое, что $\varphi|_k=\mathrm{id}_k$, то $\varphi$- автоморфизм. Действительно $\alpha\in E$- алгебраичен, тогда $f\in k[x]$, такой, что $f(\alpha )=0$, $R(f)$- множество корней. Пусть $\beta\in R(f)$. Т.к. $\varphi^{(s)}(\beta)=\varphi^{(t)}(\beta),s<t$, то получается, что $\beta=\varphi^{s-t}(\beta)$ в силу того, что $\varphi$- вложение. Откуда $\varphi$ индуцирует перестановку $\sigma$ множества $R(f)$. У меня осталось 2 вопроса:
1. Можно ли как-нибудь ослабить требование алгебраичности расширения?
2. Можно ли как-нибудь для каждого $f\in k[x]$ и для всякого $\varphi\in\mathrm{Aut}(E/k)$ вычислить количество орбит действия моноида $M=\{\sigma^{l}|l\in\mathbb{N}\cup\{0\}\}$ или хотя бы выяснить, транзитивно ли оно?

[xmaister]

Что-то не пойму, зачем эти рассуждения с векторными пространствами? Все равно там ссылка на то, что $\sigma$ индуцирует перестановку корней, что $\sigma (E')=E'$ было...

[RIP]

Возможно, автор рассуждал как-то так. Для конечного расширения $E$ утверждение тривиально ровно по той причине, что там написана: $\sigma$ --- это $k$-линейное отображение $E$ в себя с нулевым ядром, поэтому изоморфизм. Но в этом рассуждении по существу используется, что размерность конечна. А общий случай легко сводится к этому, что и продемонстрировал автор. При этом он упустил, что достаточно было рассуждений с перестановкой корней. Но док-во от этого не стало сильно сложнее.