периодическая функция

[Oleg Zubelevich]

Дана функция $f(x)=\sum_{n\in\mathbb{N}}a_ne^{i\omega_n x},\quad x\in\mathbb{R},$ где ряд сходится по норме $\|u\|=\sup_{x\in\mathbb{R}}|u(x)|,$

$\omega_n\in\mathbb{R},\quad a_n\in\mathbb{C},\quad a_n\ne 0$ -- константы. Все $\omega_n$ различны.



Написать необходимое и достаточное условие периодичности $f$ в терминах $\omega_n$.

[Keter]

Oleg Zubelevich, не пойму как связаны круговая частота и коэффициенты $a_n$.
О чем нам говорит норма?

[sup]

2Keter
А вдруг Вам захочется что-нибудь проинтегрировать. Тогда Вы сможете заменить свою функцию на конечную сумму гармоник с некой "гарантированной" ошибкой.

[Oleg Zubelevich]

не знаю как Keter
, а я этого намека не понял. Ошибка, конечно, гарантированая, только что из этого следует...

[sup]

Я исходил из соображений "оротогональности" гармоник. Для этого надо интегрировать по интервалам вида $(0,nT)$ и устремлять $n \to \infty$. (не всякие $n$, конечно, а специально подобранные). С конечными суммами там все проходит сравнительно просто. Для бесконечной суммы достаточно оценить вклад "хвоста".

[Oleg Zubelevich]

с конечными суммами как угодно решается, а вот как Вы отделяете конечную сумму я по-прежнему не понимаю. я несколько другое решение подразумевал, так что...

[sup]

(Оффтоп)

Может все-таки кто-нибудь заинтересуется задачей. Поэтому выложу свои соображения чуть позже.

[Oleg Zubelevich]

маловероятно, что заинтересуется.

в рамках теории почти периодических функций задача совершенно тривиальна. пространство почти периодических функций это пополнение пространства конечных тригонометрических полиномов с произвольными наборами частот по норме, которая порождена скалярным произведением

$$(f,g)=\lim_{U\to\infty}\frac{1}{U}\int_0^Uf(x)\overline{g(x)}dx$$

так, что ортогональность есть и даже без кавычек.
получилось красивое такое гильбертово пространство с континуальным базисом $\{e^{i\omega x}\}_{\omega\in\mathbb{R}}$

соответственно для решения задачи предполагалось проверить равенство

$$\lim_{U\to\infty}\frac{1}{U}\int_0^Uf(x)e^{-i\omega_kx}dx=a_k$$

[sup]

Ну я, в общем, это и делал. Для доказательства последнего равенства надо разбить функцию на 2 части: конечная сумма плюс "хвост". Вклад "хвоста" можно сделать сколь угодно малым. Ну а конечную сумму просто интегрируем.
Возвращаясь к задаче, пусть $f$ периодична с периодом $T$. Осталось заметить, что если $\omega_k T \neq 2\pi n$, то

$$\int \limits_0^{lT} f(x)e^{-i\omega_k x}dx=\int \limits_0^{T} f(x)e^{-i\omega_k x}\frac {e^{-il\omega_k T} - 1}{e^{-i\omega T} - 1}dx$$

Далее подбираем $l$ и показываем, что $a_k = 0$.