sup и max разных функций, может на выпуклость?

[Keter]

Докажите, что для любых двух ограниченных функций $f_1, f_2: \mathbb{R} \to [0; +\infty)$ существуют функции $g_1, g_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что $\forall x \in \mathbb{R}$

$$\sup_{t \in \mathbb{R}}{\Big(f_1(t)^x f_2(t)\Big)} = \max_{p \in \mathbb{R}}{\Big(xg_1(p)+g_2(p)\Big)}.$$

Пока что не знаю толком с чего начать.. Какую функцию рассмотреть
Какая разница между $\inf$ и $\max$ ?

Начал доказывать, что $\sup_{t \in \mathbb{R}}{\Big(f_1(t)^x f_2(t)\Big)} \ge xg_1(p)+g_2(p).$ Но пока не понимаю как это сделать..

-- 03.03.2013, 19:06 --

Может задача на выпуклость функций? Просто мне это равенство напоминает задачи с неравенствами на выпуклые и вогнутые функции. Но где здесь разглядеть выпуклость? Может новую функцию от f или g определить, тогда какую?

[devgen]

Наверное я чего-то не понимаю, но вроде это тоже самое что из $ba^x=ex+d$ получить $e(x),d(x)$
К чему все эти навороты

[мат-ламер]

Где-то должен помочь логарифм.

[SpBTimes]

Keter в сообщении #690695 писал(а):

Какая разница между $\inf$ и $\max$ ?

Один достигается, а другой не обязан

[Keter]

мат-ламер, то есть... Вы хотите сказать, что нужно рассмотреть функцию $\varphi(x)=\sup_{t \in \mathbb{R}}{\Big(x \ln f_1(t) + \ln f_2(t)\Big)},$ точно))) там же даже область $[0; +\infty).$ А как нам её охарактеризовать? Нуу.. функция $e^{\varphi(x)}$ должна быть выпуклой.

-- 03.03.2013, 22:22 --

SpBTimes, понял, спасибо.

-- 03.03.2013, 22:47 --

devgen, не совсем понял о чем Вы.

[Keter]

Может эта тема не интересна.. Но я так и не придумал, что делать с задачей. Как строго доказать, что $e^{\varphi (x)}$ выпуклая? Это вроде правильное предположение, потому как $\varphi(x)$ должна быть выпуклая (а как это строго обосновать?), а тогда и $e^{\varphi (x)}$. Но что делать дальше? Как теперь связать это с функциями $g$ ?

-- 06.03.2013, 02:03 --

Как правильнее записывать: $\sup_{u \in R} \{ x\ln w_1(u)+ \ln w_2(u) \}$ или $\sup_{u \in R} \Big( \ln w_1(u)+ x \ln w_2(u) \Big)$ ? Видел и круглые и фигурные скобки.

[dm]

Putnam 2012 B5