Напряжения нагретого диска с отверстием

[alexey007]

Интересна следующая задача по термомеханике.

Имеется диск радиуса $r_1$, с отверстием по середине радиуса $r_0$. Диск неравномерно нагрет вдоль радиуса с профилем температуры $T(r)$, так что $T(r_1)<T(r_0)$. Так же имеется одна сквозная трещина в диске от внешнего до внутреннего радиуса. Интересуют напряжения на внутреннем радиусе диска. Есть ли где нибудь аналитическое решение такой задачи, если не для трехмерного, то хотя бы решение для плоской задачи. Так же интересна математическая постановка такой задачи.

[ingener]

Используйте уравнение теплопроводности для расчёта температуры в теле диска.Определите граничные условия.Толщиной диска пренебрегаем?

[alexey007]

Как определить профиль температуры из уравнения теплопроводности я знаю. Толщиной диска пренебрегаем. А вот как поставить граничные условия даже не представляю. Есть только условие трещины в одном месте и все.

[Андрей123]

Насколько я понимаю трещина не ьудет влиять на распределение температуры (по крайней мере до тех пор пока она сильно не разошлась, но это надо будет впоследствии контролировать). Далее, если распределение температуры известно, то задачу можно свести к задаче обычной теории упругости с введением массовых сил, пропорциональных градиенту температуры, а также поправкой граничных условий на основании соотношений Дюамеля-Неймана. Можно посмотреть у Лурье Математические задачи теории упругости. На трещине условия контакта, т.е. не проникновение одной части в другую плюс условия на трение, при его отсутствии нулевые касательные напряжения на берегах трещины.