Количество решений в натуральных числах

[Руст]

Найти количество решений $(x,y)$ в натуральных числах у уравнения:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{N}$$

при заданном натуральном числе $N$.

[Sonic86]

$?\sum\limits_{k<\sqrt{N}}[k(k+1)\mid N]$
Можно проще?

[Shadow]

$\dfrac{\tau(N^2)-1}{2}$

$\tau(N^2)$ - число делителей $N^2$

[Cash]

$xy+Nx-Ny-N^2=-N^2$
$(N-x)(y+N)=N^2$
Откуда количество решений равно $\frac{\tau(N^2)-1}2$, где $\tau(n)$ - количество делителей $n$

-- Сб мар 02, 2013 14:45:21 --

Пока смотрел, как же обычно количество делителей обозначается - Shadow все написал

[Руст]

Задача возникла из вопроса ко мне как находятся все решения для случая $N=2013$.
Я показал, что все решения получаются из пар взаимно простых делителей $(a,b)$ числа $N$ по формуле:
$x=\frac{N(a-b)}{a},y=\frac{N(a-b)}{b}$. И мое решение было следующей:
При этом $a=b$ (соответственно из взаимной простоты $a=b=1$) не дает решения. А парs $(a,b),(b,a), a\not =b$ дают только одно положительное решение.
Отсюда получается, что количество решений $\frac{\tau_2(N)-1}{2}$, где $\tau_2(N)$ количество пар взаимно простых делителей. Эта функция
(впрочем и число взаимно простых троек, четверок,..) мультипликативна и соответственно для $N=\prod_i p_i^{k_i}$ получаем
$\tau_2(N)=\prod_i (1+2k_i)=\tau(N^2)$. Это приводит к указанной формуле.
Формула упрощается для бесквадратного числа $N:$ $\frac{3^{\omega(N)}-1}{2}$, где $\omega(N)$ - количество различных простых делителей.
В частности для $N=2013$ получается $\frac{3^3-1}{2}=13$, т.е. последние две цифры. Правда это не уникально. Для бесконечного числа $N$
количество решений равно числу, задаваемому последними двумя цифрами. Если требовать равенство количества решений последней половине,
то задача становится слишком сложной, и скорее всего так же бесконечно много решений. Поэтому я не стал усложнять.