2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разностная схема
Сообщение23.02.2013, 22:28 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Добрый вечер,уважаемые участники форума.
Может ли быть так, что разностная схема (явная центральная,левый и правый явные уголки) с числом Куранта $\sigma < 1 $ является неустойчивой? Вопрос, конечно, абсурдный, но MATLAB утверждает противное.
Скалярное уравнение переноса с постоянным коэффициентом и начальным условием.
Первые шагов так 20 рисует правильную картину, но вот дальше - пики в бесконечность. Помогите, пожалуйста, разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностная схема
Сообщение24.02.2013, 12:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
cool.phenon в сообщении #687440 писал(а):
Помогите, пожалуйста, разобраться.
Приводите здесь схему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностная схема
Сообщение24.02.2013, 13:34 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Уравнение $\frac{\partial u}{\partial t}-3\frac{\partial u}{\partial x}=0;u\left( x,0 \right)=x+1;x\in \left[ -1;0 \right],\sqrt{1-{{x}^{4}}};x\in \left[ 0;1 \right];0,x\notin \left[ 0;1 \right]$.
Cхема такая :
$u_{k}^{n+1}=u_{k}^{n}+\frac{3\Delta t}{2\Delta x}\left( u_{k+1}^{n}-u_{k-1}^{n} \right)$ - для центральных узлов

$u_{k}^{n+1}=u_{k}^{n}+\frac{3\Delta t}{\Delta x}\left( u_{k+1}^{n}-u_{k}^{n} \right)$ - для последнего левого узла

$u_{k}^{n+1}=u_{k}^{n}+\frac{3\Delta t}{\Delta x}\left( u_{k}^{n}-u_{k-1}^{n} \right)$ - для последнего правого узла

Параметры таковы : уравнение решается в полосе $t\in \left[ 0;5 \right]$. Для $x$ выбираем отрезок $\left[ -2\frac{2}{3};1]$
Число шагов $N_{x}=40$, $N_{t}=320$. То есть, $\sigma =\frac{3\Delta t}{\Delta x}=0.5113$ (примерно). Число Куранта меньше единицы. Но вот что творит MATLAB :
ИзображениеИзображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностная схема
Сообщение24.02.2013, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Выберите отрезок такой, что за заданное время ($t \in [0, 5]$) ненулевой участок решения не заехал за левую границу отрезка. В дифференциальной задаче задается начальное условие на отрезке и условие на правой границе. Поэтому условие справа замените на $u=0.$

Используемая схема в определенном смысле устойчива (при малых шагах по времени на конечном интервале по времени). Но в ней отсутствует схемная вязкость, поэтому нефизические осцилляции в численном решении появляются и дорастают до приводящих к аварии размеров. Либо сглаживайте решение после каждого шага по времени, либо (если хотите иметь явную схему второго порядка по $x$) аппроксимируйте производную $u_x$ не центральной разностью, а на трех узлах "против потока", в данном случае разностью вперед. В решении все равно появятся пилы, но не такое сильные, как для центральной разности. Попробуте также использовапть схему Лакса-Вендроффа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностная схема
Сообщение24.02.2013, 14:45 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Спасибо за разъяснение.
Насчёт того, можно ли изменить условие - пока не знаю, завтра спрошу у преподавателя. Параметры подобраны так,что носитель как раз упирается в край отрезка.
Схемой Лакса-Вендроффа я тоже буду пользоваться, это идёт как отдельный пункт.
То есть, насколько я понимаю, чем меньшее я выберу число Куранта и параметры разбиения, тем меньшими будут осцилляции, но окончательно они не исчезнут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностная схема
Сообщение24.02.2013, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
cool.phenon в сообщении #687611 писал(а):
То есть, насколько я понимаю, чем меньшее я выберу число Куранта и параметры разбиения, тем меньшими будут осцилляции, но окончательно они не исчезнут?

Если уменьшить шаг по времени, то придется сделать больше шагов по времени. Так что осцилляции все равно разрушат решение. Схема с центральной разностью в чистом виде непригодна для решения. Ну а условие на правой границе необходимо исправлять, какая бы схема ни использовалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностная схема
Сообщение02.03.2013, 22:15 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Возвращаюсь к этой теме. Теперь немного изменились условия : носитель теперь полностью находится в границах вычисления, $N_{x}=20,N_{t}=160$. То есть, точность уменьшилась. Далее объясню, почему.
Вычисления приведены в 3 схемах : против потока, Лакса-Фридрихса,Лакса-Вендроффа.
ИзображениеИзображение
Нечто смутил сам результат. Само собой,если увеличить точность, то картина будет совсем иной. Но ресурсы моего компьютера не позволяют этого, так как вычисления с параметрами $N_{x}=60,N_{t}=480$ заняли 3 часа (процессор Intel Core 2 Duo E4500 2,2GHz).
Возникли такие вопросы :
Действительно ли схема Лакса-Фридрихса даёт меньшую точность,чем схема против потока?
Какова природа "волн" в случае схемы Лакса-Вендроффа?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group