Ковариационная матрица ошибок оценки вектора состояния

[Rangok]

Возникли затруднения в задаче.
Имеется неизвестный вектор состояния $X$, размерности $n$. В результате проведения серии из $N$ измерений, были получены измеренные значения вектора состояния$\widetilde{X_i} $, с ковариационными матрицами ошибок измерений $[C_i] $. Используя измеренные значения требуется найти наилучшую оценку вектора состояния $\widehat{X} $ и ковариационную матрицу ошибок оценки $[\widehat{C} ]$. Оценку $\widehat{X} $ я могу найти по методу максимального правдоподобия, если предположить, что измеренные значения $\widetilde{X_i} $ являются случайными величинами с мат ожиданием в $X$. Но как получить ковариационную матрицу ошибок этой оценки?

[Rangok]

Представим, что вектор измеренных значений $\tilde{X_i}$ является случайной величиной, подчиняющейся нормальному распределению с мат ожиданием в $X$. Плотность вероятности $\tilde{X_i}$ задается:
$\omega \left( \tilde{X_i}, X \right )=\frac{1}{\det\left ( 2\pi [C_i] \right )}\exp\left \{-\frac{1}{2} \left ( \tilde X_i}-X \right )^{T} [C_i]^{-1}\left ( \tilde{X_i}-X \right )\right \}$.
Запишем функцию правдоподобия для выборки из $N$ измеренных значений $\tilde{X_i}$:
$L \left(X|\tilde{X_i} \right )=\frac{1} { \prod\limits_{i=1}^{N}\left [\det \left ( 2\pi [C_i] \right )\right ] } \exp \left \{ -\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N} \left [ \left ( \tilde{X_i}-X \right )^{T} [C_i]^{-1}\left ( \tilde{X_i}-X \right )\right ]\right \}$.
Возьмем частные производные от логарифма функции правдоподобия и приравняем их к нулю, получив уравнения правдоподобия относительно неизвестного вектора $X$:
$\frac{\partial \ln \left[L\left(X|\tilde{X_i} \right )\right]}{\partial X} = \sum\limits_{i=1}^{N} \left [[C_i]^{-1}\left ( \tilde{X_i}-X \right )\right ]=0$.
Решая уравнения правдоподобоия, получаем оценку неизвестного вектора состояния$\widehat{X}$:
$\sum\limits_{i=1}^{N} \left [[C_i]^{-1}\tilde{X_i}-[C_i]^{-1}X \right ]=0$;
$\widehat{X}=\left\{\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1} \right )\right\}^{-1}\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1}\tilde{X_i} \right )$.
Вычислив оценку $\widehat{X}$, попробуем получить ее ковариационную матрицу ошибок. Для этого выразим оценку $\widehat{X}$ и измеренные значения $\tilde{X_i}$ через точное значение $X$ следующим образом:
$\widehat{X}=X+\delta\widehat{X}$;
$\tilde{X_i}=X+\delta\tilde{X_i}$,
где $\delta\widehat{X}$ - ошибка оценки $\widehat{X}$, $\delta\tilde{X_i}$ - ошибка измерений вектора $\tilde{X_i}$.
Подставив эти выражения в уравнения правдоподобия, получаем:
$\sum\limits_{i=1}^{N} \left [[C_i]^{-1}\left (\delta\tilde{X_i} -\delta\widehat{X} \right )\right ]=0$;
$\delta\widehat{X}=\left\{\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1} \right )\right\}^{-1}\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1}\delta\tilde{X_i} \right )$.
Тогда ковариационная матрица $ [\widehat {C} ]$ будет равна:
$[\widehat {C}]=M\left ( \delta\widehat{X}\cdot {\delta\widehat{X}}^{T} \right )=M\left (\left\{\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1} \right )\right\}^{-1}\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1}\delta\tilde{X_i} \right ) \left\{\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1}\delta\tilde{X_i} \right )\right\}^{T}\left\{\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1} \right )\right\}^{-T} \right )$;
$[\widehat {C}]=\left\{\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1} \right )\right\}^{-1}\sum\limits_{i=1}^{N} \left \{[C_i]^{-1}M\left (\delta\tilde{X_i}\cdot {\delta\tilde{X_i}}^T \right )[C_i]^{-T} \right \}\left\{\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1} \right )\right\}^{-T}$.
Поскольку $M\left (\delta\tilde{X_i}\cdot {\delta\tilde{X_i}}^T \right )=[C_i]$, то
$[\widehat {C}]=\left\{\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1} \right )\right\}^{-1}\sum\limits_{i=1}^{N} \left \{[C_i]^{-T} \right \}\left\{\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1} \right )\right\}^{-T}$;
$[\widehat {C}]=\left\{\sum\limits_{i=1}^{N} \left ([C_i]^{-1} \right )\right\}^{-1}$.
C помощью такого подхода удалось получить ковариционную матрицу ошибок оценки вектора состояния $\widehat{X}$. Однако, как показывают расчеты, ковариационная матрица получается неверной - ее компоненты получаются слишком малыми, а ошибки $\delta\widehat{X}$ на самом деле намного больше, чем показывает $[\widehat {C}]$.
Где ошибка в рассуждениях?

[--mS--]

Всё верно в рассуждениях, проверяйте расчёты или их исходные данные. Например, для одномерного случая с дисперсиями $\sigma_i^2$ ответ именно такой:

$$\mathsf D\frac{\sum \frac{X_i}{\sigma^2_i}}{\sum \frac{1}{\sigma^2_i}} = \frac{1}{\sum \frac{1}{\sigma^2_i}},$$

что для случая одинаковых дисперсий даёт просто $\frac{\sigma^2}{n}$.