Фокус с определителем

[devgen]

Цитата:

Профессор нарисовал две квадратные матрицы 5 на 5: A и B и расставил 10 различных
ненулевых чисел в 10 клетках перовой матрице и 10 различных ненулевых чисел в 10 клетках
второй матрицы, остальные элементы матриц он оставил незаполненными. После этого студенты
вписали недостающие элементы, но не сказали профессору какие, а профессор верно сказал, чему
равен определитель произведения этих двух матриц. Приведите пример таких матриц.

Не пойму откуда начать. И как использовать то, что у меня произведение матриц. (Тривиальный пример не рассматриваем)

[ИСН]

Вы какой именно тривиальный пример не рассматриваете? Может, это он и есть?

[devgen]

ИСН
Ну что он взял и что в одной, что в другой матрице написал два линейно зависимых вектора.

[Утундрий]

Подсказка: $\frac{{5\left( {5 - 1} \right)}}{2} = 10$

[devgen]

Утундрий
А что это за пространство матриц? Думал над симметричными, но там $\dfrac{n(n+1)}{2}$

Да и вообще не понятно...Самый экономный расчет определителя это произведение всех элементов на главной диагонали, сюда ушло 5. Остается еще 5, но ими нижний треугольник не определишь.

[Утундрий]

devgen в сообщении #689800 писал(а):

нижний треугольник

Это тоже правильные слова...

[devgen]

Утундрий
$\dfrac{(n-1)n}{2}$, можем задать нижний треугольник. Заполним одинаковым, пусть единицами, сможем занулить весь нижний треугольник кроме $x_{51}$. И всё на этом вроде...

[Oleg Zubelevich]

devgen
а Вы не могли бы на мой вопрос ответить? post689854.html#p689854

[devgen]

Я так и не понял, что имел ввиду Утундрий, может кто-нибудь пояснить?

[Утундрий]

Да просто десять и десять явно намекаю на под-и наддиагональные элементы матриц. Конечно, хорошо бы получить такое заполнение, которое с гарантией даёт одно и то же значение определителя, что бы там ни подописывали студенты, но мне как-то слабо верится в возможность такого решения. Однако, распорядившись верхним треугольником одной и нижним треугольником второй, можно попытаться свести его вычисление к какой-то несложной формуле, позволяющей быстро в уме сосчитать ответ.

[bot]

Вряд ли имелась в виду $\frac{n(n-1)}{2}$ - по этой формуле фокус при $n=2$ не проходит. Скорее всего предполагается именно "тривиальный" пример с пропорциональностью строк или столбцов, но тогда хватит $2n$ различных чисел на любое количество перемножаемых матриц.

[devgen]

bot
Это задача из вступительных в http://mit.spbau.ru/, поэтому мне кажется, что они не хотели бы такого решения.

Я попробовал перемножить две матрицы верхнюю и нижнюю с треугольниками из единиц и посчитать определитель у полученной матрицы и сравнить с произведение определителей каждой из матриц. И закономерно получил тождество Выходит из того, что у у нас произведение ничего не извлечь?

[bot]

Спасибо за ссылку - теперь у меня не осталось никаких сомнений, что предполагался тривиальный ответ. Лишние 10 чисел в условии - всего лишь покраска селёдки.

[devgen]

bot
Ясно, спасибо. Жаль времени.