идеальные связи и интегрируемость

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим систему с лагранжианом $L(q,\dot q)$. Предположим эта система интегрируема, в каком смысле это тоже вопрос для обсуждения. Наложим на систему дополнительную идеальную связь. Что можно сказать об интегрируемости получившейся системы? Как результат зависит от голономности/неголономности связи?

Может правильнее так. Лагранжева система имеет тензорный инвариант. Добавили идеальную связь. Что будет с инвариантом? Может надо рассуждать в гамильтоновом формализме.

Скорее всего, и интегрируемость и тензорный инвариант , вообще говоря, разрушатся -- система с дополнительной связью может уже не быть интегрируемой или не иметь тензорного инварианта. Интересны примеры. А при каких условиях новая система будет иметь тензорный инвариант, который каким-то естественным образом получается из старого?

Возможно вопрос банален, сам я его не продумывал.

[scwec]

Надо, наверное, как-то конкретизировать вопросы. Предположим, интегрируемость по Лиувиллю. Если перейти к гамильтоновой форме, то интегрируемость сохранится, если все первые интегралы (или полилинейный по импульсам инвариант) в инволюции с линейной по импульсам связью в кокасательном расслоении. Может не сохраниться в противном случае. Если предположить, что имеем дело с натуральной системой и $L=T-U$, можно остаться в конфигурационном пространстве, вспомнить про метрику Якоби, геодезические которой есть траектории движения. Тогда уравнение связи должно определять геодезические подмногообразия чтобы интегрируемость точно сохранилась.
В общем, если уравнение связи инвариантно относительно потоков, порожденных первыми интегралами, то интегрируемость сохраняется.
В противном случае, видимо, нет. Есть, наверное, и другие варианты рассмотрения.
Это я рассмотрел случаи, когда связь не мешает движению первоначальной системы.
Однако, интегрируемость сохраняется, например, когда сначала точка свободно движется в $\mathbb{R}^3$,
А после наложения связи $x^2+y^2+z^2=1$ движется по единичной сфере, и импульсы $p_x,p_y,p_z$ не находятся в инволюции с функцией $xp_x+yp_y+zp_z$.
Так что всякие варианты здесь возможны.