Интеграл

[Slow]

Не могу взять интеграл.
$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{e^{-2\alpha ix^{2}}}$
Попробовал возвести этот интеграл в квадрат, затем перейти к полярной системе координат. В итоге получилось нечто такое:
${4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}{d\varphi}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2\cos{\varphi}}}{re^{-2i{\alpha}r^{2}}dr}}={-\frac{1}{i{\alpha}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}{({e^{-i{\alpha{\frac{\pi^{2}}{2\cos^{2}{\varphi}}}}}-1})d\varphi}}$
Не знаю что дальше.

[SpBTimes]

Продифференцируйте раз по альфа, и один раз проинтегрируйте по частям. ВСе сведется к диффуру

[Slow]

Спасибо за подсказку. Получилось взять интеграл, но все же интересно можно ли как то моим способом дорешать? И правильно ли я вообще решал?