z-преобразование

[antropod]

Здравствуйте.
У меня есть такое уравнение.
$x[k+2] + x[k+1] + x[k] = -3^k,\quad x[0] = 1, x[1] = 0$

я его решаю:
1) выполняю прямое z-преобразование:

$Z\lbrace x[k]\rbrace = X(z) = X$
$Z\lbrace x[k+1]\rbrace = zX - zx[0] = z(X-1)$
$Z\lbrace x[k+2]\rbrace = z^2X - z^2x[0] - zx[1] = z^2(X-1)$
$Z\lbrace -3^k\rbrace = -\frac{z}{z-3} = \frac{z}{3-z}$

2) подставляю в уравнение:
$z^2(X-1) + z(X-1) + X = \frac{z}{3-z}$

3) выражаю из полученного X:
$X = \frac{z^3-2z^2-4z}{(z^2+z+1)(z-3)} = 1 + \frac{1}{13} \frac{3z-14}{z^2+z+1} - \frac{1}{13} \frac{3}{z-3}$

4) выполняю обратное преобразование:
$x[k] = \delta[k] + ? + -\frac{1}{13} 3^k u[k-1]$

2 вопроса:
1) правильно ли я решил задание?
2) как найти обратное z-преобразование для $\frac{1}{13} \frac{3z-14}{z^2+z+1}$ ?

[profrotter]

antropod в сообщении #688476 писал(а):

2) как найти обратное z-преобразование для $\frac{1}{13} \frac{3z-14}{z^2+z+1}$ ?

1. Записать выражение для обратного z-преобразования. Посмотреть на него и сказать: "ба-а-а, поскольку областью сходимости изображения является вся комплексная плоскость за ислючением некоторого круга, а контур интергрирования лежит в области сходимости и охватывает начало координат, то он охватывает все особые точки подынтегральной функции. Поэтому по основной теореме о вычетах такой интеграл пропорционален сумме вычетов подынтегральной функции во всех её особых точках!"
2. Найти полюсы подынтегральной функции.
3. Найти вычеты во всех полюсах и сложить.
4. Показать результат.

[antropod]

спасибо!