Оба вопроса возникли при подготовке к экзамену по матмод, но при этом сами они тянутся глубоко в первый-второй курс, который был успешно забыт:(.
Итак..
Тема: изучение уравнения вида:
(1)
При описании условия Ранкина-Гюгонио, в одной из книг пишется такая вещь:
рассматрим гладкую функцию u(t,x) и свяжем с ней векторное поле:
Тот факт, что u(t,x) - классическое решение уравнения (1), означает, что
.
Хотелось бы на этом самом примере разобраться, что такое векторное поле и как считать его дивергенцию. Читал несколько определений векторного поля и в каждом имелись какие-то непонятные функции P, Q, R, которые со своим случаем я никак не могу связать:(.
В одном из определений говорилось, что векторное поле определяется некоторой точкой (непостоянной) и функцией от этой точки (например - точка (x,y,z) и функцией v(x,y,z) - тогда получается векторное поле скоростей в жидкости).
Но вот что здесь оно означает, я в упор не понимаю:(.
А вот как так получилось, что дивергенция равна 0, я понял чисто механически:
. Но я не понимаю, почему они первое слогаемое по t дифференцировали, второе по x.. Видимо, здесь имеет какое-то значение то, что u(t,x) была именно u(t,x), а не u(x,t).. Но понимания сути происходящего это все равно не принесло:(. Так в чем же здесь суть?
Второй вопрос.
Опять есть уравнение
, которое еще разок продифференцировали по x и сделали замену:
Пришли к уравнению:
(2).
Было сказано, что p(t,x) удовлетворяет последнему уравнению.. ну это понятно почему (хотя бы интуитивно). Теперь хотят показать это утверждение в обратную сторону (впринципе оно тоже понятно интуитивно, хотя вызывает кое-какие сомнения:) ). Я приведу полностью их действия.
Пусть p(t,x) - классическое решение уравнения (2) (под классическим они понимают гладкое решение, без разрывов). Из равенства
следует, что выражение (1-форма)
есть полный дифференциал некоторой функции u(t,x):
Здесь сразу же возникает вопрос - что это за выражение такое (1-форма) и как это следует, что оно - полный дифференциал некоторой функции? Что это такое, полный дифференциал?
Таким образом, функция u(t,x), являющаяся потенциалом векторного поля (-p, f(p)) есть решение задачи (1).
Тут опять векторное поле и опять полное непонимание - что значит функция - потенциал этого векторного поля и собственно почему она решение-то уже той задачи:(
