Пара вопросов по мат. моделированию

[obezyan]

Оба вопроса возникли при подготовке к экзамену по матмод, но при этом сами они тянутся глубоко в первый-второй курс, который был успешно забыт:(.
Итак..
Тема: изучение уравнения вида:
$ \frac{{\partial u}}{\partial t} + \frac{{\partial f(u)}}{\partial x} = 0$ (1)
При описании условия Ранкина-Гюгонио, в одной из книг пишется такая вещь:
рассматрим гладкую функцию u(t,x) и свяжем с ней векторное поле:
$ \overrightarrow{v} = (u, f(u)) $
Тот факт, что u(t,x) - классическое решение уравнения (1), означает, что $ div(\overrightarrow{v}) = 0 $.
Хотелось бы на этом самом примере разобраться, что такое векторное поле и как считать его дивергенцию. Читал несколько определений векторного поля и в каждом имелись какие-то непонятные функции P, Q, R, которые со своим случаем я никак не могу связать:(.
В одном из определений говорилось, что векторное поле определяется некоторой точкой (непостоянной) и функцией от этой точки (например - точка (x,y,z) и функцией v(x,y,z) - тогда получается векторное поле скоростей в жидкости).
Но вот что здесь оно означает, я в упор не понимаю:(.
А вот как так получилось, что дивергенция равна 0, я понял чисто механически:
$ div(\overrightarrow{v}) = \frac{{\partial u}}{\partial t} + \frac{{\partial f(u)}}{\partial x}$. Но я не понимаю, почему они первое слогаемое по t дифференцировали, второе по x.. Видимо, здесь имеет какое-то значение то, что u(t,x) была именно u(t,x), а не u(x,t).. Но понимания сути происходящего это все равно не принесло:(. Так в чем же здесь суть?

Второй вопрос.
Опять есть уравнение
$ \frac{{\partial u}}{\partial t} + \frac{{\partial f(u)}}{\partial x} = 0$, которое еще разок продифференцировали по x и сделали замену:
$ p(t,x) = \frac{{\partial u(t,x)}}{\partial x} $
Пришли к уравнению:
$ \frac{{\partial p}}{\partial t} + \frac{{\partial f(p)}}{\partial x} = 0$ (2).
Было сказано, что p(t,x) удовлетворяет последнему уравнению.. ну это понятно почему (хотя бы интуитивно). Теперь хотят показать это утверждение в обратную сторону (впринципе оно тоже понятно интуитивно, хотя вызывает кое-какие сомнения:) ). Я приведу полностью их действия.
Пусть p(t,x) - классическое решение уравнения (2) (под классическим они понимают гладкое решение, без разрывов). Из равенства $ \frac{{\partial p}}{\partial t} = \frac{{\partial (-f(p))}}{\partial x}$ следует, что выражение (1-форма) $ pdx - f(p)dt $ есть полный дифференциал некоторой функции u(t,x):
$ pdx - f(p)dt = du $
Здесь сразу же возникает вопрос - что это за выражение такое (1-форма) и как это следует, что оно - полный дифференциал некоторой функции? Что это такое, полный дифференциал?
Таким образом, функция u(t,x), являющаяся потенциалом векторного поля (-p, f(p)) есть решение задачи (1).
Тут опять векторное поле и опять полное непонимание - что значит функция - потенциал этого векторного поля и собственно почему она решение-то уже той задачи:(

[Brukvalub]

Вызываем поисковую машину и ищем ссылки по ключевым словам:
http://mschool.kubsu.ru/math1/sprmetod/ ... fields.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%BB%D0%B5
http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/003/767.html
http://math.nw.ru/~budylin/quest/node5.html
http://rustud.ru/matematika/gl15/bilet15/bilet15.htm
и начинаем все это старательно изучать.