Исследование интегралов на абсолютную и условную сходимость

[Brukvalub]

1.Применить на бесконечности признак Дирихле сходимости- получатся значения параметров, для которых интеграл наверняка сходится.
2. Для остальных значений параметра доказать расходимость интеграла. например, проверив отрицание критерия Коши.

[Sirian]

все, спасиб. с этим разобрался
есть еще один вопросик:
почему

\[ \int\limits_0^{ + \infty } {x^2 \cos (e^x )} dx \]

сходится(судя по ответу)?

[Brukvalub]

Тот же совет: замените экспоненту новой переменной и изучайте сходимость.

[Sirian]

дайте ка мне какой нить интегральчик такого типа (на сходимость проверить). (только чтоб ответ был чтоб знать правильно ли решил.)
а то в задачнике кончились примеры, а охота еще потренироваться
П.С. слишком зверские не надо )

[Brukvalub]

Вот две части прекрасного задачника: http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1
Качайте и решайте себе на здоровье!

[Sirian]

вот ) большое спасибо )
пошел вникать )

Добавлено спустя 11 минут 9 секунд:

чет из несобственных интегралов я не нашел там задачи на сходимость. есть только на само вычисление

[Brukvalub]

Сейчас этих книг у меня под руками нет. Но, думаю, во втором томе должно быть немало задач именно на сходимость. Ищите!

[Q_Q]

от 2 до +бесконечности

$$\int_{2}^{{+}\infty} {x^\alpha} \sin \frac 1 x \, \cos x \,dx $$

проверить на сходимость

подскажите, если не затруднит, по какому признаку исследовать

1.05.09 соединены близкие темы. / GAA

[Brukvalub]

Воспользуйтесь признаками Абеля - Дирихле. В частности, функция

\[\sin (\frac{1}{x})\]

- монотонно убывает к 0 на луче интегрирования.....

[Q_Q]

ну еси я все прально понимаю, то за f(x) возьмем sin(1/x)*cos(x), за g(x) -единица делить на x в степени минус альфа, при x стремящемся к бесконечности g(x) стремится к 0 и g(x)монотонна, осталось доказать, что f(x) интегрируема на промежутке [0,A] при любом A от 0 до +бесконечности и модуль интеграла f(x) от a до A будет меньше какой -либо константы

а как доказать что этот модуль интеграла меньше какой-либо константы?

[Brukvalub]

Q_Q писал(а):

при x стремящемся к бесконечности g(x) стремится к 0

не при всех значениях параметра...А еще можно пытаться доказывать, что интеграл от f(x) сходится....

[RIP]

Я бы делал так.

Сначала с помощью критерия Коши разбирается случай $\alpha\geqslant1$.

При $\alpha<0$ интеграл легко исследуется на абсолютную сходимость.

Последний случай: $\alpha\in[0;1)$. Здесь можно воспользоваться оценкой $\sin\frac1x=\frac1x+O\left(\frac1{x^3}\right)$.

[нг]

Q_Q
Исправьте (), пожалуйста, формулы в Ваших сообщениях, используя тег [math].

[Q_Q]

ок спасибо

[Brukvalub]

Q_Q писал(а):

от 2 до +бесконечности

$$\int_{2}^{\infty} \sin \frac 1 x \, cos x dx $$

проверить на сходимость

Вы бы уж отредактировали свой текст как следует, а то после такого Вашего редактирования получилось, что мы с RIPом даем советы несколько не по теме